2014-2015初三年级数学期末试卷
经历了一学期的努力奋战，检验学习成果的时刻就要到了，期末考试考查的不仅是同学们对知识点的掌握还考查学生的灵活运用能力，我们一起来通过这篇初三年级数学期末试卷提升一下自己的解题速率和能力吧!
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.二次函数 的最大值是
A. B. C.1 D.2
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果
∠ADE=120°，那么∠B等于
A.130° B.120°
C.80° D.60°
3.下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D
4.把抛物线 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线
A. B.
C. D.
5.△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，如果△ABC的面
积是3，那么△A′B′C′的面积等于
A.3 B.6 C.9 D.12
6.如果关于x的一元二次方程 有实数根，那么m的取值范围是
A.m>2 B.m≥3 C.m<5 D.m≤5
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB= ，AC=12，BC=5，
CD⊥AB于点D，那么 的值是
A. B.
C. D.
8.如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正
方形，每个小正方形的顶点称为格点.如果抛物线经过图中
的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物
线的“内接格点三角形”.设对称轴平行于y轴的抛物线与网
格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC
是该抛物线的内接格点三角形， ，且点A，B，C
的横坐标 ， ， 满足 < < ，那么符合上述条件的抛物线条数是
A.7 B.8 C.14 D.16
二、填空题(本题共16分，每小题4分)
9.在平面直角坐标系xOy中，点 在反比例函数 的图象上， x轴于
点B，那么△AOB的面积等于 .
10.如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到
△AB′C′，使AB′∥CB， CB，AC′的延长线相交于点D，
如果∠D=28°，那么 °.
11.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点
为A，C，那么线段CE的长应等于 .
12.在平面直角坐标系xOy中， ， (其中
)，点P在以点 为圆心，半径等于2的圆
上，如果动点P满足 ，(1)线段 的长
等于 (用含m的代数式表示);(2)m的最小值
为 .
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
13.计算： .
14.解方程： .
15.如图，在⊙ 中，点P在直径AB的延长线上，PC，PD
与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，连接 交AB于
点E.如果⊙ 的半径等于 ， ，求
弦 的长.
16.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个
小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A，B，C
都在格点上，将△ 绕点A顺时针方向旋转90°得到
△ .
(1)在正方形网格中，画出△ ;
(2)计算线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积.
(结果保留 )
17.某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a元，则每天可卖出 件.如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元.
18.如果关于x的函数 的图象与x轴只有一个公共点，求实数a
的值.
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19.如图，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P
在它的北偏东60°方向上，在A的正东400米的B处，测得
海中灯塔P在它的北偏东30°方向上.问：灯塔P到环海路
的距离PC约等于多少米?( 取1.732，结果精确到1米)
20.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点
E，F，G分别在AB，BC，FD上.
(1)求证：△EBF∽△FCD;
(2)连接DH，如果BC=12，BF=3，求 的值.
21.如图，在⊙O中，弦BC，BD关于直径AB所在直线对称.E为半径OC上一点， ，
连接AE并延长交⊙O于点F，连接DF交BC于点M.
(1)请依题意补全图形;
(2)求证： ;
(3)求 的值.
22. 已知抛物线C： .
抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标
抛物线C：
变换后的抛物线
(1)补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直
角坐标系中画出抛物线C;
(2)将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的 ，可证明得到的曲线仍是
抛物线，(记为 )，且抛物线 的顶点是抛物
线C的顶点的对应点，求抛物线 对应的函数
表达式.
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分)
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在反比例函数 (m为常
数)的图象G上，连接AO并延长与图象G的另一个交点为点C，过点A的直线l与
x轴的交点为点 ，过点C作CE∥x轴交直线l于点E.
(1)求m的值及直线l对应的函数表达式;
(2)求点E的坐标;
(3)求证： .
24.如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直.当点P在直线l
上运动到某一位置(点P不与点A重合)时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针
方向旋转 得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m( ).
(1) ① = ;
② 如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且 时，点Q到直线l的距离
等于 ;
(2) 当旋转后的点Q恰好落在直线l上时，点P，Q的位置分别记为 ， .在图2
中画出此时的线段 及△ ，并直接写出相应m的值;
(3)当点P与点B在直线AC的异侧，且△PAQ的面积等于 时，求m的值.
25.如图1，对于平面上不大于 的 ，我们给出如下定义：若点P在 的内
部或边界上，作 于点E， 于点 ，则称 为点P相对于
的“点角距离”，记为 .
如图2，在平面直角坐标系xOy中，对于 ，点P为第一象限内或两条坐标轴正
半轴上的动点，且满足 5，点P运动形成的图形记为图形G.
(1)满足条件的其中一个点P的坐标是 ，图形G与坐标轴围成图形的面积
等于 ;
(2)设图形G与x轴的公共点为点A，已知 ， ，求 的值;
(3)如果抛物线 经过(2)中的A，B两点，点Q在A，B两点之间
的抛物线上(点Q可与A，B两点重合)，求当 取最大值时，点Q
的坐标.
九年级数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题(本题共32分，每小题4分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B C D D B C
二、填空题(本题共16分，每小题4分)
9.3. 10.28. 11. . 12.(1)m;(2)3.
三、解答题(本题共30分，每小题5分)
13.解：
……………………………………………………… 3分
………………………………………………………………………………… 5分
14.解： .
∵ ， ， ， ……………………………………………………… 1分
∴ .……………………………………………… 2分
∴ ……………………………………………… 3分
.
∴ 原方程的解是 ， .…………………………………… 5分
15.解：连接OC.(如图1)
∵ PC，PD与⊙ 相切，切点分别为点C，点D，
∴ OC⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分
PC=PD，∠OPC=∠OPD.
∴ CD⊥OP，CD=2CE. …………………………2分
∵ ，
∴ .……………3分
设 OE=k，则CE=2k， .( )
∵ ⊙ 的半径等于 ，
∴ ，解得 .
∴ CE=6 .………………………………………………………………………… 4分
∴ CD=2CE=12 .………………………………………………………………… 5分
16.(1)画图见图2. …………………………… 2分
(2)由图可知△ 是直角三角形，AC=4，BC=3，
所以AB=5.…………………… 3分
线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域
是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5.
……………………………………… 4分
∴ .
…………………………………… 5分
所以线段AB在旋转到 的过程中所扫过区域的面积为 .
17.解：根据题意，得 .(20≤a≤80) …………………… 1分
整理，得 .
可得 .
解方程，得 ， .…………………………………………………… 3分
当 时， (件).
当 时， (件).
因为要使每天的销售量尽量大，所以 . ………………………………… 4分
答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售
价应是40元.……………………………………………………………………… 5分
18.解：(1)当 时，函数 的图象与x轴只有一个公共点成立.…………1分
(2)当a≠0时，函数 是关于x的二次函数.
∵ 它的图象与x轴只有一个公共点，
∴ 关于x的方程 有两个相等的实数根. ………2分
∴ .………………………………………………3分
整理，得 .
解得 .…………………………………………………………… 5分
综上， 或 .
四、解答题(本题共20分，每小题5分)
19.解：如图3，由题意，可得∠PAC=30°，∠PBC=60°.
………………………………………… 2分
∴ .
∴ ∠PAC=∠APB.
∴ PB=AB= 400.…………………………… 3分
在Rt△PBC中，∠PCB=90°，∠PBC=60°，PB=400，
∴ ≈346(米).………………4分
答：灯塔P到环海路的距离PC约等于346米. …………………………………… 5分
20.(1)证明：如图4.
∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，
∴ ∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
BC=CD，GH=EF=FG.
又∵ 点F在BC上，点G在FD上，
∴ ∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴ ∠EFB =∠FDC. …………………… 1分
∴ △EBF∽△FCD.…………………… 2分
(2)解：∵ BF=3，BC=CD=12，
∴ CF=9， .
由(1)得 .
∴ . …………………………………………… 3分
∴ .……………………………………4分
.
∴ . ………………………………………………… 5分
21.(1)补全图形见图5.…………………………………………1分
(2)证明：∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
∴ ∠DBC=2∠ABC. ……………………………2分
又∵ ，
∴ .……………………………3分
(3)解：∵ ，
∴ ∠A=∠D.
又∵ ，
∴ △AOE∽△DBM. ……………………………………………………… 4分
∴ .
∵ ，OA =OC，
∴ .
∵ 弦BC，BD关于直径AB所在直线对称，
∴ BC=BD.
∴ .………………………………………………………… 5分
22.解：(1) ， . ……………………………………………………… 2分
画图象见图6.……………………………………………………………… 3分
(2)由题意得变换后的抛物线 的相关点的坐标如下表所示：
抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标
变换后的抛物线
设抛物线 对应的函数表达式为 .(a≠0)
∵ 抛物线 与y轴交点的坐标为 ，
∴ .
解得 .
∴ .……… 5分
∴ 抛物线 对应的函数表达式为 .
说明：其他正确解法相应给分.