2014年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷

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2014年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷

高中如何复习一直都是学生们关注的话题，下面是常梦网的编辑为大家准备的2014年上海交大附中高二下学期数学期末测试卷

一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)

1. 设复数 满足 ,则 ______ ______。

2. 三个平面最多把空间分割成 8 个部分。

3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形，则这个圆锥的体积是 。

4. 如图,在正三棱柱 中, ,异面直线 与 所成角

的大小为 ,该三棱柱的体积为 。

5. 的展开式中的常数项是 60 。

6. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有 512 种。

7. 将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有 12 种。

8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_____24________种。

9. 从 个正整数 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 的概率为 ,则 8 。

10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为 。

11. 设复数 ， ， 在复平面上所对应点在

直线 上，则 = 。

12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，

则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为 。

13. 在直三棱柱 中，底面ABC为直角三角形， ， . 已知G与E分别为 和 的中点，D与F分别为线段 和 上的动点(不包括端点). 若 ，则线段 的长度的最小值为 。

【解】建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则 ( )， ， ， ( )。所以 ， 。因为 ，所以 ，由此推出 。又 ， ，从而有 。

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14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心.

因

，

故 ，从而 .

记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则

.

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2.记正四面体

的棱长为 ，过 作 于 .

因 ，有 ，故小三角形的边长 .

小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)

.

又 ， ，所以

.

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .

二、选择题(本大题共4题，每题5分，满分20分)

15. 已知 为异面直线, 平面 , 平面 .平面α与β外的直线 满足 ,则(D　)

A. ,且 B. ,且

C. 与 相交,且交线垂直于 D. 与 相交,且交线平行于

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16. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 (　A　)

A. B. C. D.

17. 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为 ( B )

A. B. C. D.

18. 除以100的余数是 (C )

A.1 B.79 C. 21 D. 81

解：

=

= 4

即 除以100的余数为21。

三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)

19. 如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。

(1)求证：OB⊥AC;

(2)若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

解：(1)连结OB，由圆的切线性质有OB⊥BC，而BC是AC在底面⊙O

上的射影，∴OB⊥平面ABC，∴OB⊥AC。

(2)在RtΔOA B中，AB= .

又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角， ,

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20. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

(1)求证：直线AB1∥平面C1DB;

(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。

证明：(1)连B C交 于E，连DE, 则DE∥ ，

而DE 面C DB， 面C DB， ∴

(2)由(1)知∠DEB为异面直线 所成的角，在

。

21. 已知：对于任意的多项式 与任意复数z， 整除 。利用上述定理解决下列问题：

(1)在复数范围内分解因式： ;

(2)求所有满足 整除 的正整数n构成的集合A。

解：(1)令 解得两个根 ，这里

所以

(2)记 。 有两个根 ，这里 ，

22. 设 ( 是正整数)，利用赋值法解决下列问题：

(1)求 ;

(2) 为偶数时，求 ;

(3) 是3的倍数时，求 。

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解：令 ，

(1) ，所以

(2) ，

所以

(3)记 ，则 。当 时， ，当 时， ，

记 ， ，

，

，

则

从上到下各式分别乘以 ，求得

。即

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