高二上册数学理期中考试题（带答案）
数学是理科的基础，如果数学不好的人，理科一定不好，本站小编准备了高二上册数学理期中考试题，具体请看以下内容。
一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)
1.已知z为复数，(1﹣i)2z=(1+i)3(i为虚数单位)，则 =( )
A.1+i B.﹣1+i C.1﹣i D.﹣1﹣i
B
考点：复数代数形式的乘除运算.
专题：函数思想;数系的扩充和复数.
分析：设z=a+bi，利用向量相等，列出方程组，求出a、b的值即可.
解答： 解：设z=a+bi，a、b∈R，
∴(1﹣i)2(a+bi)=(1+i)3，
即﹣2i(a+bi)=2i(1+i)，
∴﹣a﹣bi=1+i，
即 ，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴z=﹣1﹣i，
∴ =﹣1+i.
故选：B.
点评：本题考查了复数的共轭复数以及复数相等的应用问题，也考查了复数的代数运算问题，是基础题目.
2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)=x3在x=0处的导数值f′(x0)=0，所以，x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确
考点：演绎推理的基本方法.
专题：计算题;推理和证明.
分析：在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论.
解答： 解：大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f'(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f(x)，如果f'(x0)=0，且满足当x>x0时和当x
∴大前提错误，
故选A.
点评：本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.
3.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为( )
A.a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值 B.a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值
C.a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值 D.a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值
考点：程序框图.
专题：图表型;算法和程序框图.
分析：模拟执行程序框图，根据秦九韶算法即可得解.
解答： 解：由秦九韶算法，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，
故选：C.
点评：本小题主要通过程序框图的理解考查学生的逻辑推理能力，同时考查学生对算法思想的理解与剖析，本题特殊利用秦九韶算法，使学生更加深刻地认识中国优秀的传统文化，属于基础题.
4.已知条件p：x≤1，条件q： ，则￢p是q的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
考点：充要条件.
专题：计算题.
分析：由题意条件p：x≤1，写出其﹣p中x的范围，将条件q： ，由分式不等式的解法解出x的范围，然后判断﹣p是q之间能否互推，从而进行判断;
解答 ： 解：∵条件p：x≤1，
∴￢p：x>1;
∵条件q： ，
∴ <0，
解得x>1或x<0，
∵x>1⇒x>1或x<0，反之则不能;
∴﹣p⇒q，q推不出﹣p，
∴﹣p是q的充分而不必要条件，
故选A.
点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出﹣p和q，各自x的范围.
5.用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )
A.a，b都能被3整除 B.a，b都不能被3整除
C.a，b不都能被3整除 D.a不能被3整除
考点：反证法与放缩法.
专题：综合题.
分析：“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整 除”，故应假设 a，b都不能被3整除.
解答： 解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：
“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，
故选 B.
点评：本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立.
6.已知a
A. > B.ab<1 C. >1 D.a2>b2
考点：不等关系与不等式.
分析：利用赋值法，排除错误选项，从而确定正确答案.
解答： 解：∵a
若b=0，可排除A，C;
若b=﹣1，a=﹣2，则ab=2>1，故C错误;
无论b>0还是b<0，b=0，D均成立.
故选D.
点评：利用赋值法排除错误选项，可以有效地简化解题过程.
7.已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体得体积是( )cm2.
A. B. C.2 D.4
考点：由三视图求面积、体积.
专题：空间位置关系与距离.
分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案.
解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S=2×2=4，
高h=2，
故几何体的体积V= Sh= ，
故选：B.
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.
8.具有线性相关关系得变量x，y，满足一组数据如表所示，若y与x的回归直线方程为 =3x﹣ ，则m的值( )
x 0 1 2 3
y ﹣1 1 m 8
A.4 B. C.5 D.6
考点 ：线性回归方程.
专题：概率与统计.
分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程 =3x﹣ ，代入样本中心点求出该数据的值.
解答： 解：由表中数据得： = ， = ，
由于由最小二乘法求得回归方程 =3x﹣ ，
将 = ， = 代入回归直线方程，得m=4.
故选：A
点评：本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.
9.在区间[﹣3，3]上任取一个数a，则圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：(x﹣a)2+y2=1有公共点的概率为( )
A. B. C. D.
考点：几何概型.
专题：计算题;概率与统计.
分析：利用圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：(x﹣a)2+y2=1有公共点，可得0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4，结合在区间[﹣3，3]上任取一个数a，即可求出概率.
解答： 解：圆C1：x2+y2+4x﹣5=0可化为(x+2)2+y2=9，圆心为(﹣2，0)，半径为3，圆C2：(x﹣a)2+y2=1，圆心为(a，0)，半径为1，
∵圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：(x﹣a)2+y2=1有公共点，
∴2≤|a+2|≤4，
∴0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4，
∵在区间[﹣3，3]上任取一个数a，
∴0≤a≤2，
∴所求概率为 = .
故选：B.
点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及圆与圆有公共点的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题.
10.使不等式 成立的正整数a的最大值是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
考点：不等式比较大小.
专题：不等式的解法及应用.
分析：本题利用两边平方法比较大小，然后找到最大值.
解答： 解：∵
∴
∴a< =12+2( )<13
故不等式 成立的正整数a的最大值是12.
故选：C
点评：本题主要考查了比较大小的常用方法，两边平方法，属于基础题.
11.设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则 ，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S﹣ABC的体积为V，则r=( )
A. B.
C. D.
考点：类比推理.
专题：探究型.
分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
解答： 解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.
则四面体的体积为
∴R=
故选C.
点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想).
12.函数f(x)的导函数为f′(x)且2f(x)
A.b2f(a)a3f(b) B.b2f(a)>a2f(b)，b3f(a)
C.b2f(a)>a2f(b)，b3f(a)>a3f(b) D.b2f(a)
考点：利用导数研究函数的单调性.
专题：导数的综合应用.
分析：令g(x)= ，通过求导得函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，求出g(a)h(b)，从而得到答案.
解答： 解：令g(x)= ，则g′(x)= ，
∵2f(x)0，
∴函数g(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴g(a)
∴b2f(a)
令h(x)= ，则h′(x)= ，
∵xf′(x)<3f(x)，∴h′(x)<0，
∴函数h(x)在(0，+∞)单调递减，
∴h(a)>h(b)，即： ，
∴b3f(a)>a3f(b)，
故选：A.
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系.属基础题.解答的关键是先得到导数的正负，再利用导数的性质得出函数的单调性.本题的难点在于构造出合适的函数，题后应总结一下，为什么这样构造合理.
二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)
13.定义运算x⊗y ，若|m﹣1|⊗m=|m﹣1|，则m的取值范围是
m≥ .
考点：绝对值不等式.
专题：计算题;新定义.
分析：由题意知，|m﹣1|⊗m的结果是取|m﹣1|和m中的较小者，故得到|m﹣1|和m的不等关系，最后解此绝对值不等式即得m的取值范围.
解答： 解：由题意得：
|m﹣1|≤m，①
∴m≥0，
①式平方得：m2﹣2m+1≥m2，
即：m≥ .
故答案为：m≥ .
点评：本小题主要考查绝对值不等式、函数的概念、绝对值不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
14.正偶数列有一个有趣的现象：(1)2+4=6;(2)8+10+1 2=14+16;(3)18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第6个等式中.
考点：归纳推理.
专题：推理和证明.
分析：从已知等式分析，发现规律为：各等式首项分别为2×1，2(1+3)，2(1+3+5)，…，即可得出结论.
解答： 解：①2+4=6;
②8+10+12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30，…
其规律为：各等式首项分别为2×1，2(1+3)，2(1+3+5)，…，
所以第n个等式的首项为2[1+3+…+(2n﹣1)]=2× =2n2，
当n=6时，等式的首项为2×36=72，
所以72在第6个等式中，
故答案为：6.
点评：本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、归纳的能力，是基础题.
15.已知a，b都是正实数，函数y=2aex+b的图象过点(0，1)，则 的最小值是 .
考点：基本不等式.
专题：不等式的解法及应用.
分析：把点(0，1)代入函数关系式即可得出a，b的关系，再利用基本不等式的性质即可得出.
解答： 解：∵函数y=2aex+b的图象过点(0，1)，∴1=2a+b，
∵a>0，b>0.
∴ = =3+ = ，当且仅当 ，b= 时取等号.
故答案为 .
点评：熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键.
16.已知{an}满足a1=1，an+an+1=( )n(n∈N*)，Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•3n﹣1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得4Sn﹣3nan=n.
考点：类比推理.
专题：计算题;等差数列与等比数列.
分析：先对Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•4n﹣1 两边同乘以3，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出4Sn﹣3nan的表达式.
解答： 解：由Sn=a1+a2•3+a3•32+…+an•3n﹣1 ①
得3•Sn=3•a1+a2•32+a3•33+…+an﹣1•3n﹣1+an•3n ②
①+②得：4Sn=a1+3(a1+a2)+32•(a 2+a3)+…+3n﹣1•(an﹣1+an)+an•3n
=a1+3× +32•( )2+…+3n﹣1•( )n﹣1+3n•an
=1+1+1+…+1+3n•an
=n+3n•an.
所以4Sn﹣3n•an=n，
故答案为：n.
点评：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握.
三、解答题(共6小题，满分70分)
17.已知复数z=
(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z1
(2)若复数z2=a+bi(a，b∈R)满足z2+az+b=1﹣i，求z2的共轭复数.
考点：复数代数形式的混合运算.
专题：数系的扩充和复数.
分析：首先进行复数的化简，然后根据要求解答.
解答： 解：由已知复数z= = = = = =1+i;
所以(1)若复数z1与z在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们实部互为相反数，虚部相等，所以z1=﹣1+i;
(2)若复数z2=a+bi(a，b∈R)满足z2+ax+b=1﹣i ，
所以(1+i)2+a(1+i)+b=1﹣i，
整理得a+b+(2+a)i=1﹣i，
所以a+b=1并且2+a=﹣1，
解得a=﹣3，b=4，
所以复数z2=﹣3+4i，所以z2的共轭复数﹣3﹣4i.
点评：本题考查了复数的混合运算以及复数的几何意义、共轭复数;关键是正确化简复数z.
18.设函数f(x)=|2x+1|，g(x)=2|x|+a+2
(1)解不等式f(x)<2
(2)若存在实数x，使得f(x)≤g(x)，求实数a的取值范围.
考点：绝对值不等式的解法.
专题：不等式的解法及应用.
分析：(1)不等式f(x)<2，即|2x+1|<2，由此求得不等式的解集.
(2)由题意可得存在实数x，使得|x+ |﹣|x|≤1+ 成立，再根据绝对值的意义可得|x+ |﹣|x|的最小值为﹣ ，故有﹣ ≤1+ ，由此求得a的范围.
解答： 解：(1)不等式f(x) <2，即|2x+1|<2，即﹣2<2x+1<2，
求得﹣
(2)由题意可得f(x)≤g(x)，即|x+ |﹣|x|≤1+ ，
而|x+ |﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离，它的最小值为﹣ ，
再根据存在实数x，使得f(x)≤g(x)，故有﹣ ≤1+ ，求得 a≥﹣3.
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题.
19.在中学综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校2014-2015学年高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：
表1：男生
等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 x 5
表2：女生
等级 优秀 合格 尚待改进
频数 15 3 y
(1)从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率;
(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
男生 女生 总计
优秀
非优秀
总计
参考数据与公式：K2= 临界值表
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 6.635 7.879
考点：独立性检验的应用.
专题：应用题;概率与统计.
分析：(1)根据分层抽样，求出x与y，得到表2中非优秀学生共5人，从这5人中任选2人的所有可能结果共10种，其中恰有1人测评等级为合格的情况共6种，可得概率;
(2)根据P(K2≥2.706)= =1.125<2.706，判断出没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
解答： 解：(1)设从2014-2015学年高一年级男生中抽出m人，则 ，∴m=25
∴x=25﹣15﹣5=5，y=20﹣18=2
表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，
则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种，
记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”
则C的结果为：(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，
∴P(C)= = ，故所求概率为 ;
(2)2×2列联表
男生 女生 总计
优秀 15 15 30
非优秀 10 5 15
总计 25 20 45
∵P(K2≥2.706)= =1.125<2.706
∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.
点评：本题考查了古典概率模型的概率公式，独立性检验，考查学生的计算能力，属于中档题.
20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形
(1)求f(6)的值
(2)求出f(n)的表达式
(3)求证：1≤ + + +…+ < .
考点：数列的应用;归纳推理.
专题：点列、递归数列与数学归纳法;推理和证明.
分析：(1)先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f(5);
(2)总结一般性的规律，可知f(n+1)﹣f(n)=4n，利用叠加法，可求f(n)的表达式;
(3)根据通项特点，利用裂项法求和，结合数列的单调性即可得证.
解答： 解：(1)f(1)=1，f(2)=1+4=5，
f(3)=1+4+8=13，f(4)=1+4+8+12=25，
f(5)=1+4+8+12+16=41.f(6)=1+4+8+12+16+20=61;
(2)∵f(2)﹣f(1)=4=4×1，
f(3)﹣f(2)=8=4×2，
f(4)﹣ f(3)=12=4×3，
f(5)﹣f(4)=16=4×4，
由上式规律得出f(n+1)﹣f(n)=4n.
∴f(n)﹣f(n﹣1)=4(n﹣1)，
f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4•(n﹣2)，
f(n﹣2)﹣f( n﹣3)=4•(n﹣3)，
…
f(2)﹣f(1)=4×1，
∴f(n)﹣f(1)=4[(n﹣1)+(n﹣2)+…+2+1]
=2(n﹣1)•n，
∴f(n)=2n2﹣2n+1;
(3)证明：当n≥2时， = = ( ﹣ )，
∴ + + +…+ =1+ (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
=1+ (1﹣ )= ﹣ .
n=1时，上式也成立.
由于g(n)= ﹣ 为递增数列，
即有g(n)≥g(1)=1，
且g(n)< ，
则1≤ + + +…+ < 成立.
点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，同时考查了裂项法求数列的和，属于中档题.
21.已知函数f(x)=x2+ x2+ax+b，g(x)=x3+ x2+lnx+b，(a，b为常数)
(1)若g(x)在x=1处切线过点(0，﹣ 5)，求b的值
(2)令F(x)=f(x)﹣g(x)，若函数F(x)存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围.
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.
专题：导数的综合应用.
分析：(1)由求导公式和法则求g′(x)，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把x=1代入求出切点坐标，代入g(x)求出b的值;
(2)求函数F(x)以及 定义域，求出F′(x)，利用导数和极值之间的关系将条件转化：F′(x)=0在(0，+∞)上有根，即即2x2﹣ax+1=0在(0，+∞)上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围.
解答： 解：(1)由题意得， ，
∴g(x)在x=1处切线的斜率k=g′(1)=11，
∵在x=1处切线过点(0，﹣5)，
∴g(x)在x=1处切线方程是：y+5=11x，即y=11x﹣5，
当x=1时，y=6，则切点的坐标是(1，6)，
代入g(x)得，6=1+ +b，解得b= ;
(2)由条件得，F(x)=ax﹣x2﹣lnx，且x∈(0，+∞)，
则F′(x)=a﹣2x﹣ =﹣ ，
∵函数F(x)存在极值，∴F′(x)=0在(0，+∞)上有根，
即2x2﹣ax+1=0在(0，+∞)上有根，∴△=a2﹣8≥0，
显然当△=0时，F(x)无极值，不合题意;
所以方程必有两个不等正根.记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，
则 ，且F(x1)，F(x2)是函数F(x)的两个极值，
由题意得，F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)﹣ ﹣(lnx1+lnx2)
= >5﹣ln ，
化简解得，a2>16，满足△>0，
又 ，即a>0，
∴所求a的取值范围是(4，+∞).
点评：本题 考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大、难度大.
22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，且经过点A(1，0)，直线l交C于M、N两点
(1)求椭圆C的方程
(2)若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.
考点：椭圆的简单性质.
专题：综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析：(1)利用椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，且经过点A(1，0)，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直线l的方程.
解答： 解：(1)由题意，b=1，
∵ =1﹣e2= ，
∴a=2，
∴椭圆C的方程为 =1;
(2)设l：x=my+n，代入椭圆方程可得(4m2+1)y2+8mny+4n2﹣4=0，
△=16(4m2﹣n2+1)
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=﹣ ，y1y2= ，
∵AM⊥AN，
∴(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=0，
∴(m2+1)y1y2+m(n﹣1)(y1+y2)+(n﹣1)2=0，
∴(m2+1)• +m(n﹣1)(﹣ )+(n﹣1)2=0
∴n=﹣ 或1(舍去).
MN的中点( ， )
∵AM=AN，
∴ =﹣m，
∵n=﹣ ，
∴ m=0或m2= ，
此时△>0，
从而直线l的方程为x=﹣ 或x=± y﹣ .
点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查 学生分析解决问题的能力，属于中档题.
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高二上册数学理期中考试题，希望大家喜欢。