高二数学教案：二项式定理教案

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本文题目：高二数学教案：二项式定理教案

学习目标：

1 掌握二项式定理和二项式系数的性质。

2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

学习难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.二项式定理及其特例：

(1) ，

(2) .

2.二项展开式的通项公式：

3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性

4 二项式系数表(杨辉三角)

展开式的二项式系数，当 依次取 …时，二项式系数表，表中每行两端都是 ，除 以 外的每一个数都等于它肩上两个数的和

5.二项式系数的性质：

展开式的二项式系数是 ， ， ，…， . 可以看成以 为自变量的函数 ，定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点(如图)

(1)对称性.与首末两 端“等距离”的两个二项式系数相等(∵ ).

直线 是图象的对称轴.

(2)增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值;当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值.

(3)各二项式系数和：

∵ ，

令 ，则

二、讲解范例：

例1. 设 ，

当 时，求 的值

解：令 得：

，

∴ ，

点评：对于 ，令 即 可得各项系数的和 的值;令 即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例2.求证： .

证(法一)倒序相加：设 ①

又∵ 　　　②

∵ ，∴ ，

由①+②得： ，

∴ ，即 .

(法二)：左边各组合数的通项为

，

∴ .

例3.已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 .

(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系 数最大的项

解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，

又展开式中二项式系数和为 ，

∴ ， .

(1)∵ ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴ ， ，

(2)设展开式中第 项系数最大，则 ，

∴ ，∴ ，

即展开式中第 项 系数最大， .

例4.已知 ，

求证：当 为偶数时， 能被 整除

分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项式

∵ ，

∴ ，∵ 为偶数，∴设 ( )，

∴

( ) ，

当 = 时， 显然能被 整除，

当 时，( )式能被 整除，

所以，当 为偶数时， 能被 整除

三、课堂练习：

1. 展开式中 的系数为 ，各项系数之和为 .

2.多项式 ( )的展开式中， 的系数为

3.若二项式 ( )的展开式中含有常数项，则 的最小值为( )

A.4 B.5 C.6 D.8

4.某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 ( )

A.低于5% B.在5%～6%之间

C.在6%～8%之间 D.在8%以上

5.在 的展开式中，奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 等于( )

A.0 B. C. D.

6.求和： .

7.求证：当 且 时， .

8.求 的展开式中系数最大的项

答案：1. 45, 0 2. 0 .提示：

3. B 4. C 5. D 6.

7. (略) 8.

四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉 及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行 逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用

五、课后作业 ：

1.已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于 ，求 的值

答案：

2.设

求：① ② .

答案：① ; ②

3.求值： .

答案：

4.设 ，试求 的展开式中：

(1)所有项的系数和;

(2)所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和

答案：(1) ;

(2)所有偶次项的系数和为 ;

所有奇次项的系数和为

六、板书设计(略)

七、课后记：

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