高二数学教案：基本不等式教案
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本文题目：高二数学教案：基本不等式教案
《考试大纲》的要求：
① 了解基本不等式的证明过程
② 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
(一)基础知识回顾：
1.定理1. 如果a,b ,那么 ，(当且仅当_______时，等号成立).
2.定理2(基本不等式)：如果a,b>0,那么______________(当且仅当_______时，等号成立).
称_______为a,b的算术平均数，_____为a,b的几何平均数。基本不等式又称为________.
3. 基本不等式的几何意义是：_________不小于_________. 如图
4.利用基本不等式求最大(小)值时，要注意的问题：(一“正”;二“定”;三“相等”)
即: (1)和、积中的每一个数都必须是正数;
(2)求积的最大值时，应看和是否为定值;求和的最小值时，应看积是否为定值，;
简记为：和定积最_____，积定和最______.
(3)只有等号能够成立时，才有最值。
(二)例题分析：
例1.(2006陕西文)设x、y为正数，则有(x+y)(1x+4y)的最小值为( )
A.15 B.12 C.9 D.6
例2.函数 的值域是_________________________.
例3(2001江西、陕西、天津文,全国文、理) 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小?
(三)基础训练：
1.设 且 则必有( )
(A) (B)
(C) (D)
2.(2004湖南理)设a>0, b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )
(A) ≥4 (B) ≥
(C) ≥ (D) ≥
3.(2001春招北京、内蒙、安徽文、理)若 为实数，且 ，则 的最小值是( )
(A)18 (B)6 (C) (D)
4. 已知a,b ,下列不等式中不正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
5.(2005福建文)下列结论正确的是( )
A.当 B.
C. 的最小值为2 D.当 无最大值
6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_____________.
7.若 且 则 中最小的一个是__________.
8.(2005北京春招文、理)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 (千辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间的函数关系为： 。
(1)在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大?最大车流量为多少?(精确到 千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内?
(四)拓展训练：
1.(2000全国、江西、天津、广东)若 ,P= ,Q= ,R= ,则( )
(A)R
2.若正数a、b满足ab=a+b+3，分别求ab与a+b的取值范围。
参考答案
第04讲： 基本不等式
(二)例题分析： 例1. C; 例2. ;
例3解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x2 = 4840.
设纸张面积为S，有S = (x+16) (λ x+10)= λ x2+(16λ+10) x+160，
将 代入上式，得 .
当 时，即 时，S取得最小值.
此时，高： ，宽： .
答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.
(三)基础训练： 1. B; 2. B; 3. B; 4. B 5.B; 6. 2 ; 7.
8. 解：(Ⅰ)依题意，
(Ⅱ)由条件得
整理得v2-89v+1600<0, 即(v-25)(v-64)<0, 解得25
答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时.
(四)拓展训练：1. B;
2.解：因为a、b是正数，所以 ，即 ，
法一：令 ，则 ，由ab=a+b+3≥2 +3，得 ，(t>0)
解得t≥3, 即 ，所以ab≥9,a+b=ab-3≥6.
法二：令 ，则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，(x>0)
整理得 ，又x>0，解得x≥6,即a+b≥6，所以ab=a+b+3≥9.
答： ab与a+b的取值范围分别是 与 。
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