高二数学教案：简单的三角恒等变换

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本文题目：高二数学教案：简单的三角恒等变换

【教学目标】

会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、

和差化积公式(公式不要求记忆)，使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。

【教学重点、难点】

教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。

【教学过程】

复习引入：复习倍角公式 、 、

先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意 。既然能用单角

表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢?

半角公式的推导及理解 ：

例1、 试以 表示 .

解析：我们可以通过二倍角 和 来做此题.(二倍角公式中以代2， 代)

解：因为 ，可以得到 ;

因为 ，可以得到 .

两式相除可以得到 .

点评：⑴以上结果还可以表示为：

并称之为半角公式(不要求记忆)，符号由 角的象限决定。

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。

变式训练1：求证

积化和差、和差化积公式的推导(公式不要求记忆)：

例2：求证：

(1) ;

(2) .

解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。

证明：(1)因为 和 是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手.

; .

两式相加得 ;

即 ;

(2)由(1)得 ①;设 ，

那么 .

把 的值代入①式中得 .

点评：在例2证明中用到了换元思想，(1)式是积化和差的形式，(2)式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式.

变式训练2：课本p142 2(2)、3(3)

例3、求函数 的周期，最大值和最小值.

解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值。

解： ，

所以，所求的周期 ，最大值为2，最小值为 .

点评：例3是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.

变式训练3：课本p142 4、(1)(2)(3)

探究：求y=asinx+bcosx的周期，最大值和最小值.

小结：我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用.

作业布置：课本p143 习题3.2 A组1、(1)(5) 3 、5

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