高二数学教案：空间向量及其运算
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本文题目：高二数学教案：空间向量及其运算
●考试目标 主词填空
1.空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.
2.向量的直角坐标运算：
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
则a+b= .
a-b= .
a•b= .
若a、b为两非零向量，则a⊥b a•b=0 =0.
●题型示例 点津归纳
【例1】 已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是
MN的中点.
求证：OG⊥BC.
【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可.
而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量.
【规范解答】 连ON由线段中点公式得：
又 ,
所以 )
= ( ).
因为 .
且 ，∠AOB=∠AOC.
所以 =0,即OG⊥BC.
【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.
【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【规范解答】 因为 ,
所以
=
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图
所以 =0,
=-a2.
所以 =-a2.
又
所以〈 〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
别是BB1、DC的中点.
(1)求AE与D1F所成的角;
(2)证明AE⊥平面A1D1F.
【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1，
=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,
则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，
所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).
所以 • =(0,1 ),•(0, ,-1)=0.
所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°.
(2)又 =(1,0,0)= ，
且 • =(1,0,0)•(0,1, )=0.
所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.
【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).
【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,
∴EG ,同理HF ，∴EG HF .
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,
GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.
只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O
为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图
∴ CD,QH CD,
∴
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本文题目：高二数学教案：相关性教案
学习导航 学习提示
1.能根据数据，利用计算机制出反映两个变量间关系的散点图.
2.能根据散点图判断变量间是否为线性相关.
3.若两个变量为线性相关，告诉一个变量的值，能估计出其对应另一变量的值. 本节重点是能根据散点图，判断两个变量是否为线性相关;难点是根据一个变量的值估计出另一个变量的值.
教材习题探讨 方法点拨
练习(第59页)
解：(1)散点图如图1-8-13.
图1-8-13
(2)从散点图1-8-13中可以看出气温越低，销售热茶的杯数越多，近似地成一条直线，成线性相关.
(3)画一条直线近似地表示这种线性关系(如图1-8-13).
(4)如果某天的气温为-5℃，则这天的热茶卖出的杯数大约为67杯.
习题1—8
1.解：(1)第一步，先抽取样本.为使抽取的样本具有广泛的代表性，我们可采取分层抽样，按身高分层.
第二步，对样本中的每个个体进行测量，把测得的数据填入下表.
身 高 右手一拃长 身 高 右手一拃长
第三步，根据得到的数据画出散点图.
第四步，根据散点图，写出分析报告.
(2)利用前面抽取的样本，测量每个个体的左、右手的一拃长，填入下表.
左手一拃长 右手一拃长 身 高 右手一拃长
其余同(1).
2.解：(1)散点图如图1-8-14.
图1-8-14
(2)从散点图1-8-14中可以看出，总体上体重随身高增大而增大，近似地成一条直线，成线性相关.
(3)所画直线如图1-8-14.
(4)身高为172 cm的运动员，他的体重大约为61 kg.
3.解：(1)散点图如图1-8-15.
图1-8-15
我们从散点图1-8-15中可以发现，年龄与最大可识别距离总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的.
(2)所画直线如图1-8-15.
(3)如果一个美国司机年龄是50岁，估计他最大可识别距离为440英尺左右.
(4)一般情况，年龄越大，可识别最大距离越小.老年司机开车时车速应比年青人要小一些.
4.解：
图1-8-16
图1-8-16为年龄与肝功能原始值的散点图，由散点图可以看出年龄与肝功能原始值之间成线性相关.同样，年龄与肝功能对数变换值之间也成线性相关.
图1-8-17
图1-8-17是年龄与生存天数原始值的散点图.由散点图可以看出年龄与生存天数原始值之间成线性相关.同样年龄与生存天数对数变换值之间也成线性相关.
图1-8-18
图1-8-18为肝功能原始值与生存天数原始值之间的散点图.由散点图可以看出它们之间成线性相关.同样，肝功能对数变换值与生存天数对数变换值之间也成线性相关. 利用计算机电子表格软件作散点图，由散点图推断它们之间是否线性相关.
本解答只提供步骤方法，具体由学生根据学过的方法知识、实际数据完成答案，然后互相交流比较.
我们用计算机电子表格软件作散点图，由散点图推断身高与体重之间成线性相关，画出近似直线.由直线再估算身高为172 cm的体重.
同学们一定要熟练应用计算机电子表格软件作散点图.
本题散点较多，如果用手工描图工作量非常大，故熟练应用现代计算机信息技术，利用计算机电子表格软件作散点图效率很高且比较准确.
互动学习 知识链接
1.在现实生活中，请你举出几个两个量之间存在明确函数关系的例子.
2.请在现实生活中举出两个变量不满足函数关系，但二者确实有关系的例子.
解：1.圆的半径r和面积S，有着S=πr2的关系.工作效率a和工作量W，有着W=at的关系.物体的质量m和体积V，满足m=ρV的关系.
2.(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关.
(2)粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高.但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.
(3)人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等因素有关，可能还与个人的先天体质有关.
在现实生活中，有些量之间存在着函数关系，还有很多量之间不满足函数关系，但二者之间确实有关系，这种关系正是本节所要研究的问题.
知识总结
两个变量间的关系有两种:一种是函数关系;另一种是相关关系.理解两种关系的定义及两者之间的联系.另外散点图非常重要,要会画散点图,并会根据散点图判断两个变量间是何种关系.
【总结】2013年常梦网为小编在此为您收集了此文章“高二数学教案：相关性教案”，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在常梦网学习愉快!
∴= =0.
∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.
【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.
●对应训练 分阶提升
一、基础夯实
1.在下列条件中,使M与A、B、C一定共面的是( )
A. B.
C. D.
2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( )
A. B.
C. D.
3.若向量{a， b，c｝是空间的一个基底，向量m=a+b，n=a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )
A.a B.b C. c D.2a
4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )
A.(0， ) B.[0， ] C.(0，π) D.[0，π]
5.若a与b是垂直的，则a•b的值是( )
A.大于0 B.等于零 C.小于0 D.不能确定
6.向量a=(1，2，-2)，b=(-2，-4，4)，则a与b( )
A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对
7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8. m={8，3，a｝，n={2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的值为( )
A.0 B. C. D.8
9. a={1,5,-2｝，b={m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为( )
A.0 B.6 C.-6 D.±6
10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a= ，b= ，则a+b对应的点为( )
A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2)
11. a=(2，-2，-3)，b=(2,0,4)，则a与b的夹角为( )
A.arc cos B. C. D.90°
12.若非零向量a={x1，y1，z1｝，b={x2，y2，z2｝,则 是a与b同向或反向的( )
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
二、思维激活
13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0,|a|=3,| b|=1,| c|=4.则ab+bc+ca= .
14.已知|a|=2 ，|b|= ，ab=- ，则a、b所夹的角为 .
15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为 .
16.已知a={8,-1,4｝，b={2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .
三、能力提高
17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB=a，AC=BD=b，求C、D之间的距离.
18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB=BC=2，AA1=4，试用向量法求：
(1) 的夹角的大小.
(2)直线A1E与FC所夹角的大小.
19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE.
20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面.
空间向量及其运算习题解答
1.C 由向量共线定义知.
2.C 设此向量为(x,y),∴ ，∴
3.C
4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.
5. B 当a⊥b时，a•b=0(cos 〈a, b〉=0)
6.C a=(1,2,-2)=- •b ∴a∥b.
7.C |AB|= =3.
8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，∴8=2bk,3=6k,a=5k，
∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8=
9.B ∵a⊥b ∴1•m+5•2-2(m+2)=0. ∴m=6.
10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2).
11.C cos(a•b)= =- .
12.A若 ，则a与b同向或反向，反之不成立.
13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,
∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13.
14. cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 .
15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得.
16.9 S=|a||b|sin〈a, b〉求得.
17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.
过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′=30°，
〈 〉=120°，
∴|CD|2=
=
=b2+a2+b2+2b2cos120°=a2+b2.
∴CD=
点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.
18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)
、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4).
由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4).
(1)令 的夹角为θ，
则cosθ= .
∴ 的夹角为π-arccos .
(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos
19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 =i， =j， =k，
以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz，
则 =(-1，0，0)， =(0, ,-1)，
• =(-1，0，0)•(0， ，-1)=0，∴AD⊥D1F.
又 =(0，1， )， =(0， ，-1)，
∴ • =(0，1， )•(0， ，-1)= - =0.
∴AE⊥D1F，又AE∩AD=A， ∴D1F⊥平面ADE.
点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.
20.证明：∵
=2
=
∴A1,B1,C1,D1四点共面.
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欢迎来高二数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高二数学教案：最小二乘估计教案”希望能为您的提供到帮助。高二数学教案：最小二乘估计教案
本文题目：高二数学教案：最小二乘估计教案
教学目标：
1、掌握最小二乘法的思想
2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
教学重点：
最小二乘法的思想
教学难点：
线性回归方程系数公式的应用
教学过程
回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。
问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?
想法：保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?
设直线方程为y=a+bx，样本点A(xi，yi)
方法一、点到直线的距离公式
方法二、
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。
问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?
例如有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)与直线y=a+bx的接近程度：
从而我们可以推广到n个样本点：(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)与直线y=a+bx的接近程度：
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
问题4、怎样使 达到最小值?
先来讨论3个样本点的情况
设有3个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
…………………①
整理成为关于a的一元二次函数 ，如下所示：
利用配方法可得
从而当 时，使得函数 达到最小值。
将 代入①式，整理成为关于b的一元二次函数 ，
同样使用配方法可以得到，当
时，使得函数 达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
其中
由 我们知道线性回归直线y=a+bx一定过 。
例题与练习
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表
气温(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1
杯数(yi)/杯 20 24 34 38 50 64
(1) 试用最小二乘法求出线性回归方程。
(2) 如果某天的气温是-3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。
解：(1)先画出其散点图
i xi yi xi2 xiyi
1 26 20 676 520
2 18 24 324 432
3 13 34 169 442
4 10 38 100 380
5 4 50 16 200