高二数学教案：频率与概率教案
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本文题目：高二数学教案：频率与概率教案
本节通过一个课堂实验活动，让学生逐步计算一个随机事件发生的实验频率，并观察其规律性，从而归纳出实验频率趋近于理论概率这一规律性，同时进一步介绍一种计算概率的方法——列表法.实验频率稳定于理沦概率是本节乃至本章的教学重点及难点之一，第二个重点则为能运用树状图或列表法计算简单事件发生的概率.因此在教学过程中应注意：(1)注重学生的合作和交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展学生的合作交流意识和能力.这是社会迅猛发展的要求.同时.在本节中.要归纳出实验频率稳定于理论概率这一规律，必须借助于大量重复实验，而课堂时间是有限的，靠一个学生完成实验次数自然不可能.因此必须综合多个学生甚至全班学生的实验数据，这就需要全班学生合作交流来完成.(2)注重引导学生积极参加实验活动，在实验中体会频率的稳定性，感受实验频率与理论概率之间的关系，并形成对概率的全面理解.发展学生的初步辩证思维能力，突破实验频率稳定于理论概率这一难点，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型.(3)关注学生对知识技能的理解和应用，借助列表和树状图计算简单事件发生的概率.
教学目标
(一)教学知识点
通过实验.理解当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率.
(二)能力训练要求
经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动.通过实验提高学生学习数学的兴趣.
2.发展学生的辩证思维能力.
教学重点 1.通过实验.理解当实验次数较大时。实验频率稳定于理论概率.并据此估计某一事件发生的概率.
2.在活动中发展学生的合作交流意识和能力.
教学难点
辩证地理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理沦概率.
教学方法
实验——交流合作法.
教具准备
每组准备两组相同的牌，每组牌都有两张;
多媒体演示：
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]我们在七年级时，曾用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影：任意掷一枚均匀的硬币.如果正面朝上，小丽去;如果反面朝上，小明去.这样决定对双方公平吗?
[生]公平!因为我们做过这样的试验，历史上的数学家也做过掷硬币的实验，经过实验发现当次数很大时，任意掷一枚硬币.会出现两种可能的结果：正面朝上、反面朝上.
这两种结果出现的可能性相同.都是
[师]很好!我们再来看一个问题：任意掷一枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).“6”朝上的概率是多少?
[生]任意掷一枚均匀的小立方体，所有可能出现的结果有6种：“1”朝上，“2”朝上。
“3”朝上，“4”朝上，“5”朝上，“6”朝上，每种结果出现的概率都相等，其中“6”朝上的结果只有一种，因此P(“6”朝上)= .
[师]上面两个游戏涉及的是一步实验.如果是连续掷两次均匀的硬币。会出现几种等可能的结果.出现“一正一反”的概率为多少呢?如果将上面均匀的小立方体也连续掷两次，会出现几种等可能的结果，两次总数都是偶数的概率为多少呢?从这一节开始我们将进一步学习概率的有关知识.
我们用实验的方法估计出了任意掷一枚硬币“正面朝上”和“反面朝上”的概率.同样
的我们也可以通过实验活动.估计较复杂事件的概率.
Ⅱ.分组实验，进一步理解当实验次数较大时，实验频率稳定于理论概率.
1.活动一：
活动课题
通过摸牌活动，探索出“实验次数很大时，实验的频率渐趋稳定”这一规律.
活动方式
分组实验，全班合作交流.
活动步骤
准备两组相同的牌，
每组两张。两张牌的牌
面数字分别是1和2.
从每组牌中各摸出一张，
称为一次实验.
(1)估计一次实验中。两张牌的牌面数字和可能有哪些值?
(2)以同桌为单位，每人做30次实验，根据实验结果填写下面的表格：
牌面数字和 2 3 4
频数
频率
(3)根据上表，制作相应的频数分布直方图.
(4)根据频数分布直方图.估计哪种情况的频率最大?
(5)计算两张牌的牌面数字和等于3的频率是多少?
(6)六个同学组成一组，分别汇总其中两人、三人、四人、五人、六人的实验数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字之和等于3的频率，填
写下表.并绘制相应的折线统计图.
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本文题目：高二数学教案：数列教案
一 数列
【考点阐述】
数列.
【考试要求】
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
【考题分类】
(一)选择题(共2题)
1.(北京卷理6).已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于( )
A. B. C. D.
【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知 = + = -12， = + =-24, = + = -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.(江西卷理5文5)在数列 中， ， ，则
A. B. C. D.
解析： . ， ，…，
(二)填空题(共2题)
1.(北京卷理14)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点 处，其中 ， ，当 时，
表示非负实数 的整数部分，例如 ， .
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ;第2008棵树种植点的坐标应为 .
【标准答案】: (1,2) (3, 402)
【试题分析】: T 组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。一一带入计算得：数列 为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……;数列 为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵树种在 (1,2)，第2008棵树种在(3, 402)。
【高考考点】: 数列的通项
【易错提醒】: 前几项的规律找错
【备考提示】: 创新题大家都没有遇到过，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到解题方法。
2.(四川卷文16)设数列 中， ，则通项 ___________。
【解】：∵ ∴ ， ，
， ， ， ，
将以上各式相加得：
故应填 ;
(三)解答题(共1题)
1.(福建卷文20)已知{an｝是正数组成的数列，a1=1，且点( )(n N*)在函数y=x2+1的图象上.
(Ⅰ)求数列{an｝的通项公式;
(Ⅱ)若列数{bn｝满足b1=1,bn+1=bn+ ，求证：bn •bn+2
本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.
解法一：
(Ⅰ)由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列{an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬¬•••+(b2-b1)+b1
=2n-1+2n-2+•••+2+1= =2n-1.
因为bn•bn+2-b =(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5•2n+4•2n
=-2n<0,
所以bn•bn+2
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)因为b2=1,
bn•bn+2- b =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1•bn-1-2n•bn+1-2n•2n+1
=2n(bn+1-2n+1)
=2n(bn+2n-2n+1)
=2n(bn-2n)
=…
=2n(b1-2)
=-2n〈0，
所以bn-bn+2
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实验次数 60 90 120 150 180
两张牌面数字和等于3的频数
两张牌面数字和等于3的频率
(在具体实验活动的展开过程中.要力图体现各个步骤的渐次递进.(1)在一次实验中，两张牌的牌面数字和可能为2，3，4：(2)学生根据自己的实验结果如实填写实验数据;(3)制作相应的频数分布直方图，一方面为了复习巩固八年级下册有关频数、频率的知识，同时也便于学生更为直观地获得(4)的结论;(4)一般而言，学生通过实验以及上面(2)(3)的图表容易猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大.理论上.两张牌的牌面数字和为2，3，4的概率依次为 ，应该说，经过30次实验，学生基本能够猜想两张牌的牌面数字和为3的频率最大.当然，这里一定要保证实验的次数，如果实验次数太少，结论可能会有较大出入;(5)有了(4)中的结沦.自然过渡到研究其频率的大小.当然，两张牌的牌面数字和等于3的频率因各组实验结果而异.正是有了学生结论的差异性，才顺理成章地展开问题(6)，汇总组内每人的实验数据;(6)目的在于通过逐步汇总学生的实验数据，得到实验60次、90次、120次、150次、180次时的频率.并绘制相应的折线统计图，从而动态地研究频率随着实验次数的变化而变化的情况)
2.议一议
[师]在上面的实验中，你发现了什么?如果继续增加实验次数呢?与其他小组交流所绘制的图表和发现的结论.
[生]在与各组交流图表的过程中，我发现：在各组的折线统计图中，随着实验次数的增加，频率的“波动”较小了.
[生]随着实验次数的增加，实验结果的差异较小。实验的数据即两张牌的牌面数字和等于3的频率比较稳定.
[生]一个人的实验数据相差可能较大，而多人汇总后的实验数据即两张牌的牌面数字和等于3的频率相差较小.
[师]也就是说，同学们从实验中都能体会到实验次数较大时，实验频率比较稳定.请问同学们估计一下，当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率大约是多少?
[生]大约是 .
[师]很好!准能将实验次数更进一步增加呢?越大越好.
[生]可以把全班各组数据集中起来，这样实验次数就会大大增加.
[师]太棒了!“众人拾柴火焰高”，我们集小全班的实验数据，交流合作，可以使实验次数达到一千多次.下面我们汇总全班的实验次数及两张牌的牌面数字和为3的频数，求出两张牌的牌面数字和等于3的频率.
(可让各组一一汇报，然后清同学们自己算出)
[生]约为 .
[师]与你们的估计相近吗? [生]相近.
3.做—做
[师]你能用我们学过的知识计算出两张牌的牌面数字和为3的概率吗?
[生]每组牌中，每张牌被摸到的可能性是相同的，因此.一次实验中.两张牌的牌面数字的和等可能的情况有：
1+1=2;1+2=3;
2+1=3;2+2=4.
共有四种情况.而和为3的情况有2种，因此，P(两张牌的牌面数字和等于3)= = .
[生]也可以用树状图来表示，即
两张牌的牌面数字的和有四种等可能的情况，而两张牌的牌面数字和为3的情况有2次，因此.两张牌的牌面数字的和为3的概率为 = .
4.想一想
[师]我们在前面估算出了当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率约为 .接着又用树状图计算出了两张牌的牌面数字和等于3的概率也为 .比较两者之间的关系，你可以发现什么呢?同学们可相互交流意见.
[生]可以发现“实验频率稳定于理论概率”这一结论.
[生]也就是说，当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近.
[师]很好!由于实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相应的概率附近，因此我们可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
“当实验次数很大时，两张牌的牌面数字和等于3的频率稳定在相心的概率附近”是否意味着。实验次数越大。就越为靠近?应该说.作为一个整体趋势，上述结论是正确的，但也可能会出现这样的情形：增加了几次实验，实验数据与理论概率的差距反而扩大了.同学们可从绘制的折线统计图中发现.
Ⅲ.随堂练习
活动二：
活动课题
利用学生原有的实验数据统计两张牌的牌面数字和为2的频率，进—步体会当实验次数很大时，频率的稳定性及其与概率之间的关系.
活动方式
小组活动，全班讨论交流.
活动步骤
(1)六个同学组成一个小组，根据原来的实验分别汇总其中两人、二人、四人、五人、六人的数据，相应得到实验60次、90次、120次、150次、180次时两张牌的牌面数字和等于2的频率.
(2)根据上面的数据绘制相应的统计图
表，如折线统计图.
(3)根据统计图表估计两张牌的牌面数字和等于2的概率.
(活动完成后，讨论、总结)
[生]由我们组绘制的折线统计图可以发现随着实验次数的增加，实验的频率在 处波动.而且波动越来越小.
[生]由此可估计两张牌的牌面数字和等于2的概率为 .
[师]你能用树状图计算出它的理论概率吗?
[生]可以，如下图：
因此，P(两张牌的牌面数字和为2)= .
Ⅳ.课时小结
本节课通过实验、统计等活动，进一步理解“当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率”这一重要的概率思想.
Ⅴ.课后作业
习题6.1
Ⅵ.活动与探究 下列说法正确的是……………( ) A. 某事件发生的概率为 ，这就是说：在两次重复实验中，必有一次发生
B.一个袋子里有100个球，小明摸了8次，每次都只摸到黑球，没摸到白球，结论：袋子里只有黑色的球
C.两枚一元的硬币同时抛下，可能出现的情形有：①两枚均为正;②两枚均为反;③一正一反，所以出现一正一反的概率是
D.全年级有400名同学，一定会有2人同一天过生日
[过程]“当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率”并不意味着，实验次数越大，就越为靠近，应该说，作为一个整体趋势，上述结论是正确的，更不能某某事件的概率为 ，在两次重复试验中.就一定有一次发生、因此A不正确，B也不正确
而对于C，两枚硬币同时抛下，等可能的情况由树状图可知有四种：
因此，出现一正一反的概率为 即 ，对于D，根据抽屉原理可知是正确的.
[结果]应选D.
板书设计
§6.1.1 频率与概率
活动一：
活动目的[
活动方式
活动步骤：(1)(2)(3)(4)(5)(6)
活动结果：当实验次数很大时，实验频率稳定于理论概率.
注：对上述结果的正确理解.应该说作为一种整体趋势是正确的.
活动二：
活动目的
活动方式：分组、全班交流讨论.
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本文题目：高二数学教案：相关性教案
学习导航 学习提示
1.能根据数据，利用计算机制出反映两个变量间关系的散点图.
2.能根据散点图判断变量间是否为线性相关.
3.若两个变量为线性相关，告诉一个变量的值，能估计出其对应另一变量的值. 本节重点是能根据散点图，判断两个变量是否为线性相关;难点是根据一个变量的值估计出另一个变量的值.
教材习题探讨 方法点拨
练习(第59页)
解：(1)散点图如图1-8-13.
图1-8-13
(2)从散点图1-8-13中可以看出气温越低，销售热茶的杯数越多，近似地成一条直线，成线性相关.
(3)画一条直线近似地表示这种线性关系(如图1-8-13).
(4)如果某天的气温为-5℃，则这天的热茶卖出的杯数大约为67杯.
习题1—8
1.解：(1)第一步，先抽取样本.为使抽取的样本具有广泛的代表性，我们可采取分层抽样，按身高分层.
第二步，对样本中的每个个体进行测量，把测得的数据填入下表.
身 高 右手一拃长 身 高 右手一拃长
第三步，根据得到的数据画出散点图.
第四步，根据散点图，写出分析报告.
(2)利用前面抽取的样本，测量每个个体的左、右手的一拃长，填入下表.
左手一拃长 右手一拃长 身 高 右手一拃长
其余同(1).
2.解：(1)散点图如图1-8-14.
图1-8-14
(2)从散点图1-8-14中可以看出，总体上体重随身高增大而增大，近似地成一条直线，成线性相关.
(3)所画直线如图1-8-14.
(4)身高为172 cm的运动员，他的体重大约为61 kg.
3.解：(1)散点图如图1-8-15.
图1-8-15
我们从散点图1-8-15中可以发现，年龄与最大可识别距离总体趋势成一条直线，它们之间是线性相关的.
(2)所画直线如图1-8-15.
(3)如果一个美国司机年龄是50岁，估计他最大可识别距离为440英尺左右.
(4)一般情况，年龄越大，可识别最大距离越小.老年司机开车时车速应比年青人要小一些.
4.解：
图1-8-16
图1-8-16为年龄与肝功能原始值的散点图，由散点图可以看出年龄与肝功能原始值之间成线性相关.同样，年龄与肝功能对数变换值之间也成线性相关.
图1-8-17
图1-8-17是年龄与生存天数原始值的散点图.由散点图可以看出年龄与生存天数原始值之间成线性相关.同样年龄与生存天数对数变换值之间也成线性相关.
图1-8-18
图1-8-18为肝功能原始值与生存天数原始值之间的散点图.由散点图可以看出它们之间成线性相关.同样，肝功能对数变换值与生存天数对数变换值之间也成线性相关. 利用计算机电子表格软件作散点图，由散点图推断它们之间是否线性相关.
本解答只提供步骤方法，具体由学生根据学过的方法知识、实际数据完成答案，然后互相交流比较.
我们用计算机电子表格软件作散点图，由散点图推断身高与体重之间成线性相关，画出近似直线.由直线再估算身高为172 cm的体重.
同学们一定要熟练应用计算机电子表格软件作散点图.
本题散点较多，如果用手工描图工作量非常大，故熟练应用现代计算机信息技术，利用计算机电子表格软件作散点图效率很高且比较准确.
互动学习 知识链接
1.在现实生活中，请你举出几个两个量之间存在明确函数关系的例子.
2.请在现实生活中举出两个变量不满足函数关系，但二者确实有关系的例子.
解：1.圆的半径r和面积S，有着S=πr2的关系.工作效率a和工作量W，有着W=at的关系.物体的质量m和体积V，满足m=ρV的关系.
2.(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关.
(2)粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高.但是，施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.
(3)人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内，随着年龄的增长，人体内的脂肪含量会增加，但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等因素有关，可能还与个人的先天体质有关.
在现实生活中，有些量之间存在着函数关系，还有很多量之间不满足函数关系，但二者之间确实有关系，这种关系正是本节所要研究的问题.
知识总结
两个变量间的关系有两种:一种是函数关系;另一种是相关关系.理解两种关系的定义及两者之间的联系.另外散点图非常重要,要会画散点图,并会根据散点图判断两个变量间是何种关系.
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