高二数学教案：最小二乘估计教案
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本文题目：高二数学教案：最小二乘估计教案
教学目标：
1、掌握最小二乘法的思想
2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程
教学重点：
最小二乘法的思想
教学难点：
线性回归方程系数公式的应用
教学过程
回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。
问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?
想法：保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?
设直线方程为y=a+bx，样本点A(xi，yi)
方法一、点到直线的距离公式
方法二、
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。
问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?
例如有5个样本点，其坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)与直线y=a+bx的接近程度：
从而我们可以推广到n个样本点：(x1，y1)，(x2，y2)，…(xn，yn)与直线y=a+bx的接近程度：
使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法
问题4、怎样使 达到最小值?
先来讨论3个样本点的情况
设有3个点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，则由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：
…………………①
整理成为关于a的一元二次函数 ，如下所示：
利用配方法可得
从而当 时，使得函数 达到最小值。
将 代入①式，整理成为关于b的一元二次函数 ，
同样使用配方法可以得到，当
时，使得函数 达到最小值。
从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。
用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：
其中
由 我们知道线性回归直线y=a+bx一定过 。
例题与练习
例1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数据如下表
气温(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1
杯数(yi)/杯 20 24 34 38 50 64
(1) 试用最小二乘法求出线性回归方程。
(2) 如果某天的气温是-3 oC，请预测可能会卖出热茶多少杯。
解：(1)先画出其散点图
i xi yi xi2 xiyi
1 26 20 676 520
2 18 24 324 432
3 13 34 169 442
4 10 38 100 380
5 4 50 16 200
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本文题目：高二数学教案：空间向量及其运算
●考试目标 主词填空
1.空间向量基本定理及应用
空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.
2.向量的直角坐标运算：
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3),
A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2).
则a+b= .
a-b= .
a•b= .
若a、b为两非零向量，则a⊥b a•b=0 =0.
●题型示例 点津归纳
【例1】 已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=
∠AOC,且OA=OB=OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是
MN的中点.
求证：OG⊥BC.
【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可.
而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量来表示.又已知条件为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量.
【规范解答】 连ON由线段中点公式得：
又 ,
所以 )
= ( ).
因为 .
且 ，∠AOB=∠AOC.
所以 =0,即OG⊥BC.
【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.
【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.
【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.
【规范解答】 因为 ,
所以
=
因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图
所以 =0,
=-a2.
所以 =-a2.
又
所以〈 〉=120°.
所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.
【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.
【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分
别是BB1、DC的中点.
(1)求AE与D1F所成的角;
(2)证明AE⊥平面A1D1F.
【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1，
=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz,
则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)，
所以 =(0,1, ), =(0, ,-1).
所以 • =(0,1 ),•(0, ,-1)=0.
所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°.
(2)又 =(1,0,0)= ，
且 • =(1,0,0)•(0,1, )=0.
所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1.
所以AE⊥平面A1D1F.
【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.
【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).
【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,
∴EG ,同理HF ，∴EG HF .
从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,
GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.
只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O
为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图
∴ CD,QH CD,
∴
6 -1 64 1 -64
合计 70 230 1286 1910
可以求得
则线性回归方程为
y =57.557-1.648x
(2)当某天的气温是-3 oC时，卖出热茶的杯数估计为：
练习1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )
x 0 1 2 3
y 1 3 5 7
(A)(2，2) (B)(1.5，0) (C)(1，2) (D)(1.5，4)
练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B C D E
销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9
利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5
(1) 画出销售额和利润额的散点图;
(2) 若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。
解：(1)
(2)数据如下表：
i xi yi xi2 xiyi
1 3 2 9 6
2 5 3 25 15
3 6 3 36 18
4 7 4 49 28
5 9 5 81 45
合计 30 17 200 112
可以求得b=0.5，a=0.4
线性回归方程为：
小结
1、 最小二乘法的思想
2、 线性回归方程的系数：
作业：P60 习题1-8 第1题
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本文题目：高二数学教案：顺序结构和选择结构
一、教学目标
1.知识与技能
(1)理解流程图的顺序结构和选择结构。
(2)能用文字语言表示算法，并能将算法用顺序结构和选择结构表示简单的流程图
2.过程与方法
学生通过模仿、操作、探索、经历设计流程图表达解决问题的过程，理解流程图的结构。
3情感、态度与价值观
学生通过动手作图，.用自然语言表示算法，用图表示算法。进一步体会算法的基本思想——程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力。
二、教学重点、难点
重点：算法的顺序结构与选择结构。
难点：用含有选择结构的流程图表示算法。
三、学法与教学用具
学法：学生通过动手作图，.用自然语言表示算法，用图表示算法，体会到用流程图表示算法，简洁、清晰、直观、便于检查，经历设计流程图表达解决问题的过程。进而学习顺序结构和选择结构表示简单的流程图。
教学用具：尺规作图工具，多媒体。
四、教学思路
(一)、问题引入 揭示课题
例1 尺规作图，确定线段的一个
5等分点。
要求：同桌一人作图，一人写算
法，并请学生说出答案。
提问：用文字语言写出算法有
何感受?
引导学生体验到：显得冗长
，不方便、不简洁。
教师说明：为了使算法的表述简
洁、清晰、直观、便于检查，我
们今天学习用一些通用图型符号
构成一张图即流程图表示算法。
本节要学习的是顺序结构与选择
结构。
右图即是同流程图表示的算法。
(二)、观察类比 理解课题
1、 投影介绍流程图的符号、名称及功能说明。
符号 符号名称 功能说明
终端框 算法开始与结束
处理框 算法的各种处理操作
判断框 算法的各种转移
输入输出框 输入输出操作
指向线 指向另一操作
2、讲授顺序结构及选择结构的概念及流程图
(1)顺序结构
依照步骤依次执行的一个算法
流程图：
(2)选择结构
对条件进行判断来决定后面的步骤的结构
流程图：
3.用自然语言表示算法与用流程图表示算法的比较
(1)半径为r的圆的面积公式 当r=10时写出计算圆的面积的算法，并画出流程图。
解：
算法(自然语言)
①把10赋与r
②用公式 求s
③输出s
流程图
(2) 已知函数 对于每输入一个X值都得到相应的函数值，写出算法并画流程图。
算法：(语言表示)
① 输入X值
②判断X的范围，若 ，用函数Y=x+1求函数值;否则用Y=2-x求函数值
③输出Y的值
流程图
小结：含有数学中需要分类讨论的或与分段函数有关的问题，均要用到选择结构。
学生观察、类比、说出流程图与自然语言对比有何特点?(直观、清楚、便于检查和交流)
(三)模仿操作 经历课题
1.用流程图表示确定线段A.B的一个16等分点
2.分析讲解例2;
分析：
思考：有多少个选择结构?相应的流程图应如何表示?
流程图：
(四)归纳小结 巩固课题
1.顺序结构和选择结构的模式是怎样的?
2.怎样用流程图表示算法。
(五)练习P99 2
(六)作业P99 1
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