2014数学知识点柯西不等式之高三

2014数学知识点柯西不等式之高三

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一、一般形式

(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)

等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。

一般形式的证明

(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2

证明：

等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项

等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项

用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证

二、向量形式

|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。

向量形式的证明

令m=(a1,a2，…，an)，n=(b1,b2，…，bn)　　m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<m,n>　　∵cos<m,n>≤1　　∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn)　　注：“√”表示平方根。

以上就是小编为大家整理的数学知识点柯西不等式之高三。