2015高三数学概率训练题
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高三数学章末综合测试题(10)概率
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：
①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”;
②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”;
③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”;
④“取出3只红球”与“取出3只白球”.
其中是对立事件的有( )
A.①② B.②③
C.③④ D.③
D解析：从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球，2只白球”，“3只白球”，由此可知①、②、④中的两个事件都不是对立事件.对于③，“取出3只球中至少有一只白球”包含“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”三种情况，与“取出3只红球”是对立事件.
2.取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是( )
A.14 B.13
C.12 D.23
C解析：把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P=24=12.
3.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲 、乙两人下一盘棋，你认为最为可能出现的情况是( )
A.甲获胜 B.乙获胜
C.甲、乙下成和棋 D.无法得出
C解析：两人下成和棋的概率为50%，乙胜的概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是 下成和棋.
4.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为a2的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是( )
A.1-π4 B.π4
C.1-π8 D.与a的取值有关
A 解析：几何概型，P=a2-πa22a2=1-π4，故选A.
5.从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个种，两个数一奇一偶的概率是( )
A.16 B.25
C.13 D.23
D 解析：基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率P=46=23.
6.从含有4个元素的集合的所有子集中任取一个，所取的子集是含有2个元素的集合的概率是( )
A.310 B.112
C.4564 D.38
D解析：4个元素的集合共16个子集，其中含有两个元素的子集有6个，故所求概
率为P=616=38.
7 .某班准备到郊外野营，为此向商店定了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )
A.一定不会淋雨 B.淋雨的可能性为34
C.淋雨的可能性为12 D.淋雨的可能性为14
D解析：基本事件有“下雨帐篷到”、“不下雨帐篷到”、“下雨帐篷未到”、“不下
雨帐篷未到”4种情况，而只有“下雨帐篷未到”时会淋雨，故淋雨的可能性为14.
8.将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为( )
A.19 B.112
C.115 D.118
D解析：基本事件总数为216，点数构成等差数列包含的基本事件有(1,2,3)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,6)，(3,2,1)，(3,4,5)，(4,3,2)，(4,5,6)，(5,4,3)，(5,3,1)，(6,5,4)，(6,4,2)共12个，故求概率为P=12216=118.
9.设集合A={1,2}，B={1,2,3}，分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则N的所有可能值为( )
A.3 B.4
C.2和5 D.3和4
D解析：点P(a，b)的个数共有2×3=6个，落在直线x+y=2上的概率P(C2)=16;落在直线x+y=3上的概率P(C3)=26;落在直线x+y=4上的概率P(C4)=26;落在直线x+y=5上的概率P(C5)=16，故选D.
10.连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a=(m，n)与向量b=(1，-1)的夹角为θ，则θ∈0，π2的概率是( )
A.512 B.12
C.712 D.56
C 解析：基本事件总数为36，由cosθ=a•b|a|•|b|≥0得a•b≥0，即m-n≥0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为P=2136=712.
11.在一张打方格的纸上投一枚直径为1的硬币，方格的边长(方格边长设为a)要多少才能使得硬币与方格线不相交的概率小于1% ( )
A.a>910 B.a>109
C.1
C解析：硬币与方格线不相交，则a>1时，才可能发生，在每一个方格内，当硬币的圆心落在边长为a-1，中心与方格的中心重合的小正方形内时，硬币与方格线不相交，故硬币与方格线不相交的概率P=(a-1)2a2.，由(a-1)2a2<1%，得1
12.集合A={(x，y)|x-y-1≤0，x+y-1≥0，x∈N}，集合B={(x，y)|y≤-x+5，x∈N}，先后掷两颗骰子，设掷第一颗骰子得点数记作a，掷第二颗骰子得数记作b，则(a，b)∈A∩B的概率等于 ( )
A.14 B.29
C.736 D.536
B解析：根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知A∩B对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点.其中整数点有(0,1)，(0,2)，(0,3)，(0,4)，(0,5)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)共14个.现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2).所以满足(a，b)∈A∩B的概率为836=29，
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.若实数x，y满足|x|≤2，|y|≤1，则任取其中x，y，使x2+y2≤1的概率为__________.
解析：点(x，y)在由直线x=±2和y=±1围成的矩形上或其内部，使x2+y2≤1的点(x，
y)在以原点为圆心，以1为半径的圆上或其内部，故所求概率为P=π4×2=π8.
答案：π8
14.从所有三位二进制数中随机抽取一个数，则这个数化为十进制数后比5大的概率是
________.
解析：三位二进制数共有4个，分别111(2), 110(2),101(2),100(2)，其中111(2)与110(2)化为十
进制数后比5大，故所求概率为P=24=12.
答案：12
15.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程
组mx+ny=3，2x+3y=2，只有一组解的概率是__________.
1718 解析：由题意，当m2≠n3，即3m≠2n时，方程组只有一解.基本事件总数为36，
满足3m=2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个，故满足3m≠2n的基本事件数为34个，
故所求概率为P=3436=1718.
16.在圆(x-2)2+(y-2)2=8内有一平面区域E：x-4≤0，y≥0，mx-y≤0(m≥0)，点P是圆内的
任意一点，而且出现任何一个点是等可能的.若使点P落在平面区域E内的概率最
大，则m=__________.
0 解析：如图所示，当m=0时，平面区域E的面积最大，
则点P落在平面区域E内的概率最大.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.(10分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿 命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示
分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，+∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率[]
(1)将各组的频率填入表中;
(2)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率;
(3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管.
解析：
分组 [500，900) [900，1 100) [1 1001 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，+∞)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，
所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.
(3)由(2)只，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.
15×0.6=9，故经过1 500小时约需换9支灯管.
18.(12分)袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸 取一个球.
(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;
(2)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率.
解析：(1)一共有8种不同的结果，列举如下：
(红，红，红)、(红，红，黑)、(红，黑，红)、(红，黑，黑)、
(黑、红，红)、(黑，红，黑)、(黑，黑，红)、(黑、黑、黑).
(2)记“3次摸球所得总分为5”为事件A，
事件A包含的基本事件为：
(红，红，黑)、(红，黑，红)、(黑，红，红).
事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知，基本事件总数为8，
所以事件A的概率为P(A)=38.
19.(12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b.设复数z=a+bi.
(1)求事件“z-3i为实数”的概率;
(2)求事件“复数z在复平面内的对应点(a，b)满足(a-2)2+b2≤9”的概率.
解析：(1)z-3i为实数，
即a+bi-3i=a+(b-3)i为实数，∴b=3.
又b可取1,2,3,4,5,6，故出现b=3的概率为16.
即事件“z-3i为实数”的概率为16.
(2)由已知，b的值只能取1,2,3.
当b=1时，(a-2)2≤8，即a可取1,2,3,4;
当b=2时，(a-2)2≤5，即a可取1,2,3,4;
当b=3时，(a-2)2≤0，即a可取2.
综上可知，共有9种情况可使事件成立.
又a，b的取值情况共有36种，
所以事件“点(a，b)满足(a-2 )2+b2≤9”的概率为14.
20.(12分)汶川地震发生后，某市根据上级要求，要从本市人民医院报名参加救援的护理专家、外科专家、心理治疗专家8名志愿者中，各抽调1名专家组成一个医疗小组与省专家组一起赴汶川进行医疗求助，其中A1，A2，A3是护理专家，B1，B2，B3是外科专家，C1，C2是心理治疗专家.
(1)求A1恰被选中的概率;
(2)求B1和C1不全被选中的概率.
解析：(1)从8名志愿者中选出护理专家、外科专家、心理治疗专家各1名，其一切可能的结果为：
(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2).共有18个基本事件.
用M表示“A1恰被选中 ”这一事件，则
M包括(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2).共有6个基本事件.
所以P(M)=618=13.
(2)用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则 其对立事件N表示“B1和C1全被选中”这一事件，
由N包括(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)，共有3个基本事件，
所以P(N)=318=16，
由对立事件的概率公式得P(N)=1-P(N)=1-16=56.
21.(12分)设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
(1)若a是从-4，-3，-2，-1四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率;
(2)若a是从区间[-4，-1]任取的一个数，b是从区间[1,3]任取的一个数，求上述方程有实根的概率.
解析：设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.
当a<0，b>0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a+b≤0.
(1)基本事件共12个：(-4,1)，(-4,2)，(-4,3)，
(-3,1)，(-3,2)，(-3,3)，(-2,1)，(-2,2)，(-2,3)，(-1,1)，(-1,2)，(-1,3).
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
P(A)=912=34.
(2)试验的全部结果所构成的区域为
{(a，b)|-4≤a≤-1,1≤b≤3}，构成事件A的区域为{(a，b)|-4≤a≤-1,1≤b≤3，a+b≤0}，
所求概率为这两区域面积的比.
所以所求的概率P=3×2-12×223×2=23.
22.(12分)某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务(每人被安排是等可能的，每天只安排一人) .
(1)共有多少种安排方法?
(2)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少?
(3)甲、乙两人中至少有一人被安排的概率是多少?
解析：(1)安排情况如下：
甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙.故共有12种安排方法.
(2)甲、乙两人都被安排的情况包括：“甲乙”，“乙甲”两种，故甲、乙两人都被安排(记为事件A)的概率为
P(A)=212=16.
(3)方法一：“甲、乙两人中至少有一人被安排”与“甲、乙两人都不被安排”这两个事件是对立事件，∵甲、乙两人都不被安排的情交包括：“丙丁”，“丁丙”两种，则“甲、乙两人都不被安排的概率为212=16”.
∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1-16=56.
方法二：甲、乙两人中至少有一人被安排的情况包括：“甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙”共10种，∴甲、乙两人中至少有一人被安排(记为事件B)的概率P(B)=1012=56.
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