2015年高三数学理科备考试题（含答案）

高三进入下学期，就应该多做些备考试题，这样才知道自己未掌握的知识在哪儿，常梦网提供了2015年高三数学理科备考试题，希望对大家有用。

2015年高三数学理科备考试题（含答案）

1.已知复数 ，则 ( )

A.2 B.-2 C.2i D.-2i

2.下列命题中，真命题是 ( )

A. B. 是 的充分条件

C. ， D. 的充要条件是

3.一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 、 、 ，则 ( )

A. B.

C. D.

4.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是 ( )

A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱

5.将函数 (其中 >0)的图像向右平移 个单位长度，所得图像经过点( ，0)，则 的最小值是 ( )

A. B.1 C. D.2

6.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ( )

A.7 B.9 C.10 D.11

7.在△ABC中，①若B=60 ，a=10，b=7，则该三角形有且有两解;②若三角形的三边 的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120 ;③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x .则 的取值范围是 .其中正确命题的个数是 ( )

A.0 B.1 C.2 D.3

8.已知0希望提供的2015年高三数学理科备考试题 ，能够帮助大家做好的高考冲刺复习，在高考中取得好成绩!

A.M+N=8 B.M+N=6 C.M-N=8 D.M-N=6

9.已知双曲线 的离心率为 ，右焦点 到其渐进线的距离为 ，抛物线 的焦点与双曲线的右焦点 重合.过该抛物线的焦点的一条直线交抛物线于A、B两点，正三角形ABC的顶点C在直线 上，则△ABC的边长是 ( )

A.8 B.10 C.12 D.14

10.已知函数 ，其中a∈R，若对任意非零实数 ，存在唯一实数 ，使得 成立，则实数 的最小值为 ( )

A.-8 B.-6 C.6 D.8

第Ⅱ卷(非选择题，总分100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卷中相应题目的横线上.

11.已知数列{an}为等比数列，且 ，则cos( )的值为 .

12. 已知实数x∈[-1，1]，y∈[0，2]，则点P(x，y)落在不等式组 所表示的区域内的概率为 .

13.在 的展开式中，记 项的系数为f ( ， )，则f(3，0)+f(2，1)+f(1，2)+f(0，3) = .

14.已知函 数 在 处取得极值0，则 = .

15.已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量 、 、 、 、 和 、 、 、 、 均由2个 和3个 排列而成.记S= + + + + ，Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列所给5个命题中，所有正确的命题的序号是 .

①S有5个不同的值;②若 ⊥ ，则Smin与 无关;

③若 ∥ ，则Smin与 无关;④若 ，则Smin>0;

⑤若 ，Smin= ，则 与 的夹角为 .

三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证 明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)在数列{an}中，已知a =-20，a =a +4(n∈ ).

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和An;

(2)若 (n∈ )，求数列{bn}的前n项Sn.

17.(本题满分12分)某种有奖销售的小食品，袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品尝”字样，购买一袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;

(2)求中奖人数 的分布列及数学期望 .

18.(本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角 的正弦值;

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.

19.(本题满分12分)已知函数f(x)= ( ).

(1)求函数f(x)的周期和递增区间;

(2)若函数 在[0， ]上有两个不同的零点x1、x2，求tan(x1+x2)的值.

20.(本题满分13分)已知点F(1，0)，圆E: ，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.

(1)求动点Q的轨迹Γ的方程;

(2)若直线 与圆O: 相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B.当 = ，且满足 时，求△AOB面积S的取值范围.

21.(本题满分14分)已知函数f(x)= 的图象在点(1，f(1))处的切线方程是 ，函数g(x)= (a、b∈R，a≠0)在x=2处取得极值-2.

(1)求函数f(x)、g(x)的解析式;

(2)若函数 (其中 是g(x)的导函数)在区间( ， )没有单调性，求实数 的取值范围;

(3)设k∈Z，当 时，不等式 恒成立，求k的最大值.

2015年3月德阳市四校高三联合测试理科数学答题卷

第Ⅱ卷(非选择题，总分100分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.把答案填在相应题目的横线上.

11. . 12. .

13. . 14. .

15. .

三、解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.(本题满分12分)在数列{an}中，已知a =-20，a =a +4(n∈ ).

(1)求数列{an}的通项公式和前n项和An;

(2)若 (n∈ )，求数列{bn}的前n项Sn.

17.( 本题满分12分)某种有奖销售的小食品，袋内印有“免费赠送一袋”或“谢谢品尝”字样，购买一袋若其袋内印有“免费赠送一袋”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一袋该食品。

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;

(2)求中奖人数 的分布列及数学期望 .

18.(本题满分12分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角 的正弦值;

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.

19.(本题满分12分)已知函数f(x)= ( ).

(1)求函数f(x)的周期和递增区间;

(2)若函数 在[0， ]上有两个不同的零点x1、x2，求tan(x1+x2)的值.

20.(本题满分13分)已知点F(1，0)，圆E: ，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.

(1)求动点Q的轨迹Γ的方程;

(2)若直线 与圆O: 相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B.当 = ，且满足 时，求△AOB面积S的取值范围.

21.(本题满分14分)已知函数f(x)= 的图象在点(1，f(1))处

的切线方程是 ，函数g(x)= (a、b∈R，a≠0)在x=2

处 取得极值-2.

(1)求函数f(x)、g(x)的解析式;

(2)若函数 (其中 是g(x)的导函数)在区间( ，

)没有单调性，求实数 的取值范围;

(3)设k∈Z，当 时，不等式 恒成立，求

k的最大值.

2015年3月德阳市四校高三联合测试参考答案

理科数学

一、选择题答题表：

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

选项 A B D A D B C B C D

8.略解：∵f(x)= =3 ，令g(x)= ，则g(x)是奇函数，∴g(x)的值域为对称区间，设-m g(x) m(m>0)，则3-m f(x) 3+m.

9.略解：依题知双曲线 的右焦点也即抛物线的焦点为F(1，0)，所以抛物线的方程为 ，

设AB的中点为M，过A、B、M分别作AA1、BB1、MN垂直于

直线 于A1、B1、N，设∠AFx= ，由抛物线定义知：

|MN| ，∵|MC| ，

∴|MN| |MC|，∵∠CMN= ，

∴ ，即 ，

又由抛物线定义知|AF| ，|BF| ，∴|AB| .

其它解法省略.

10.略解：由数形结合讨论知f(x)在( ，0)递减 ，在(0， )递增，且在 连续，

∴ 等价于 等价于

令 ，则 且

，∴ 在(0， )上递减，在上递增[ ，1)上递增，即 .

二、填空题：

11. ;12. ;13.120;14.11;15.②④⑤.

15.提示：有零对 时， ;有两对 时， ;

有四对 时， ;∴S有3个不同的值;

又∵ ， ，∴ ;

Smin ;∴当 ⊥ ，则Smin与 无关;Smin与 有关;

设 与 的夹角为 ;

当 时，Smin ;

当 时，Smin ，

∴ ，即 .

三、解答题：

16.解：(1)∵数列{an}满足a =a +4(n∈ )，∴数列{an}是以公差为4，以a =-20为首项的等差数列.

故数列{an}的通项公式为a = (n∈ )，

数列{an}的前n项和A = (n∈ );

(2)∵ (n∈ )，

∴数列{bn}的前n项Sn为

.

17.解：设甲、乙、丙三位同学中奖分别为事件A、B、C，那么事件A、B、C相互独立，且P(A)=P(B)=P(C) .

(1)甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为：

P( )=P( )P( )P( ) .

(2)∵中奖人数 =0，1，2，3， 依题 ～ ， ，

且 ( =0，1，2，3)，

∴中奖人数 的分布列为：

0 1 2 3

P

的数学期望 .

18.解：设正方体的棱长为1，以A为原点，直线AB、AD、AA1分别为 轴、 轴、 轴.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，B1(0，0，1)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)，∵E是DD1的中点，∴E(0，1， )， (-1，1， )， (-1，0，1).

(1)∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴AD⊥平面ABB1A1，即 (0，1，0)为平面ABB1A1的一个法向量，直线BE和平面ABB1A1所成角 的正弦值为：

;

(2)当点F为棱的C1D1中点时，B1F∥ 平面A1BE，证明如下：

由 、 的坐标可求得平面A1BE的一个法向量为 (2，1，2)，

∵点F在棱C1D1上，设 ，则 ( ，0，0)，

∴ ( ，0，0)= ( ，1，1)，

进而 = ( ，1，1)-(0，0，1)= ( ，1，0).

∵B1F∥平面A1BE，∴ ⊥ ，即 ，∴ ，

故点F为棱的C1D1中点时，B1F∥平面A1BE得到证明.

综合法在此省略.

19.解：(1)∵f(x)= ( ).

由 ( )，

∴函数f(x)的周期为 ，递增区间为[ ， ]( );

(2)∵方程 同解于 ;

在直角坐标系中画出函数f(x)= 在[0， ]上的图象(图象省略)，由图象可知，当且仅当 ， 时，方程 在[0， ]上的区间[ ， )和( ， ]有两个不同的解x1、x2，且x1与x2关于直线 对称，即 ，∴ ;故 .

20.解：(1)连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|= ( |EF|=2)，∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长 的椭圆，即动点Q的轨迹Γ的方程为 ;

(2)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线 的方程为 ( ).∵直线 即 与圆O: 相切，∴有：

得 .

又∵点A、B的坐标( ， )、( ， )满足：

消去整理得 ，

由韦达定理得 ， .

其判别式 ，

又由求根公式有 .

∵ = =

.

.

∵ ，且 ∈[ ， ].

∴ ∈[ ， ].

21.解：(1)由f(x)= ( )，可得 ( )，

∴f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是 ，

即 ，依题该直线与直线 重合，

∴ ，可解得 .

∵又g(x)= 可得 ，且g(x)在x=2处取得极值-2.

∴ ，可得 解得 ， .

所求f(x)=lnx(x>0)，g(x)= (x∈R);

(2)∵ ，令 (x>-1) ∵ (x>-1)，∴ 在(-1，0]递增，在[0，+∞)上递减，∵ 在区间( ， )不单调，∴ 且 .故所求实数 ∈( ，0);

(3)∵不等式 等价于

(∵ )，令 ( )，

∴ ，

又令 ( )，∵ (∵ )

由 ，故存在唯一 使 ，

即 满足当x∈( 1， ]时， ;当x∈( ，+∞)时， ;∴x∈(1， ]时， ，x∈( ，+∞)时， ;

也即 在(1， ]上递减，在( ，+∞)上递增;

∴ (∵ )，又∵ ， ，且 在(1，+∞)连续不断，∴ ， ∈(5，6).

故所求最大整数 的值为5.