高三数学必修5第一章解三角形章末测试卷及解析

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。以下是常梦网为大家整理的高三数学必修5第一章解三角形章末测试卷，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，常梦网一直陪伴您。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1.△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c.若a=52b，A=2B，则cos B等于(　　)

A.53      B.54      C.55      D.56

答案　B

解析　由正弦定理得ab=sin Asin B，

∴a=52b可化为sin Asin B=52.

又A=2B，∴sin 2Bsin B=52，∴cos B=54.

2.在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=  ，则 •AC→等于(　　)

A.-32      B.-23      C.23      D.32

答案　A

解析　由余弦定理得

cos A=AB2+AC2-BC22AB•AC=9+4-1012=14.

∴ •AC→=|AB→|•|AC→|•cos A=3×2×14=32.

∴ •AC→=-AB→•AC→=-32.

3.在△ABC中，已知a=5，b=15，A=30°，则c等于(　　)

A.25                      B.5

C.25或5                  D.以上都不对

答案　C

解析　∵a2=b2+c2-2bccos A，

∴5=15+c2-215×c×32.

化简得：c2-35c+10=0，即(c-25)(c-5)=0，

∴c=25或c=5.

4.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是(　　)

A.a=8，b=16，A=30°，有两解

B.b=18，c=20，B=60°，有一解

C.a=5，c=2，A=90°，无解

D.a=30，b=25，A=150°，有一解

答案　D

解析　A中，因asin A=bsin B，

所以sin B=16×sin 30°8=1，∴B=90°，即只有一解;

B中，sin C=20sin 60°18=539，

且c>b，∴C>B，故有两解;C中，

∵A=90°，a=5，c=2，

∴b=a2-c2=25-4=21，

即有解，故A、B、C都不正确.

5.△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为(　　)

A.922                 B.924

C.928                 D.92

答案　C

解析　设另一条边为x，

则x2=22+32-2×2×3×13，

∴x2=9，∴x=3.设cos θ=13，则sin θ=223.

∴2R=3sin θ=3223=924，R=928.

6.在△ABC中，cos2 A2=b+c2c(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　)

A.直角三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰直角三角形

D.正三角形

答案　A

解析　由cos2A2=b+c2c⇒cos A=bc，

又cos A=b2+c2-a22bc，

∴b2+c2-a2=2b2⇒a2+b2=c2，故选A.

7.已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c.若a=c=6+2，且A=75°，则b等于(　　)

A.2                      B.6-2

C.4-23                D.4+23

答案　A

解析　sin A=sin 75°=sin(30°+45°)=6+24，

由a=c知，C=75°，B=30°.sin B=12.

由正弦定理：bsin B=asin A=6+26+24=4.

∴b=4sin B=2.

8.在△ABC中，已知b2-bc-2c2=0，a=6，cos A=78，则△ABC的面积S为(　　)

A.152      B.15      C.8155      D.63

答案　A

解析　由b2-bc-2c2=0可得(b+c)(b-2c)=0.

∴b=2c，在△ABC中，a2=b2+c2-2bccos A，

即6=4c2+c2-4c2•78.

∴c=2，从而b=4.∴S△ABC=12bcsin A=12×2×4×1-782=152.

9.在△ABC中，AB=7，AC=6，M是BC的中点，AM=4，则BC等于(　　)

A.21                   B.106

C.69                   D.154

答案　B

解析　设BC=a，则BM=MC=a2.

在△ABM中，AB2=BM 2+AM 2-2BM•AM•cos∠AMB，

即72=14a2+42-2×a2×4•cos∠AMB             ①

在△ACM中，AC2=AM 2+CM 2-2AM•CM•cos∠AMC

即62=42+14a2+2×4×a2•cos∠AMB            ②

①+②得：72+62=42+42+12a2，∴a=106.

10.若sin Aa=cos Bb=cos Cc，则△ABC是(　　)

A.等边三角形

B.有一内角是30°的直角三角形

C.等腰直角三角形

D.有一内角是30°的等腰三角形

答案　C

解析　∵sin Aa=cos Bb，∴acos B=bsin A，

∴2Rsin Acos B=2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0.

∴cos B=sin B，∴B=45°.同理C=45°，故A=90°.

11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2+c2-b2)tan B=3ac，则角B的值为(　　)

A.π6                     B.π3

C.π6或5π6                 D.π3或2π3

答案　D

解析　∵(a2+c2-b2)tan B=3ac，

∴a2+c2-b22ac•tan B=32，

即cos B•tan B=sin B=32.

∵0

12.△ABC中，A=π3，BC=3，则△ABC的周长为(　　)

A.43sinB+π3+3          B.43sinB+π6+3

C.6sinB+π3+3             D.6sinB+π6+3

答案　D

解析　A=π3，BC=3，设周长为x，由正弦定理知BCsin A=ACsin B=ABsin C=2R，

由合分比定理知BCsin A=AB+BC+ACsin A+sin B+sin C，

即332=x32+sin B+sin C.

∴2332+sin B+sinA+B=x，

即x=3+23sin B+sinB+π3

=3+23sin B+sin Bcosπ3+cos Bsin π3

=3+23sin B+12sin B+32cos B

=3+2332sin B+32cos B

=3+632 sin B+12cos B

=3+6sinB+π6.

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13.在△ABC中，2asin A-bsin B-csin C=________.

答案　0

14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=3ac，则角B

的值为________.

答案　π6

解析　∵a2+c2-b2=3ac，

∴cos B=a2+c2-b22ac=3ac2ac=32，∴B=π6.

15.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边.若a=1，b=3，

A+C=2B，则sin C=________.

答案　1

解析　在△ABC中，A+B+C=π，A+C=2B.

∴B=π3.

由正弦定理知，sin A=asin Bb=12.

又a

∴A=π6，C=π2.

∴sin C=1.

16.钝角三角形的三边为a，a+1，a+2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________.

答案　32≤a<3

解析　由a+a+1>a+2a2+a+12-a+22<0a2+a+12-a+222aa+1≥-12.

解得32≤a<3.

三、解答题(本大题共6小题，共74分)

17.(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间.

解　设我艇追上走私船所需时间为t小时，则

BC=10t，AC=14t，在△ABC中，

由∠ABC=180°+45°-105°=120°，

根据余弦定理知：

(14t)2=(10t)2+122-2•12•10tcos 120°，

∴t=2.

答　我艇追上走私船所需的时间为2小时.

18.(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且cos A=45.

(1)求sin2 B+C2+cos 2A的值;

(2)若b=2，△ABC的面积S=3，求a.

解　(1)sin2 B+C2+cos 2A=1-cosB+C2+cos 2A=1+cos A2+2cos2 A-1=5950.

(2)∵cos A=45，∴sin A=35.

由S△ABC=12bcsin A，得3=12×2c×35，解得c=5.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，可得

a2=4+25-2×2×5×45=13，∴a=13.

19.(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2.

(1)求cos∠CBE的值;

(2)求AE.

解　(1)∵∠BCD=90°+60°=150°，CB=AC=CD，

∴∠CBE=15°.

∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=6+24.

(2)在△ABE中，AB=2，

由正弦定理得AEsin∠ABE=ABsin∠AEB，

即AEsin45°-15°=2sin90°+15°，

故AE=2sin 30°cos 15°=2×126+24=6-2.

20.(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

a=2，cos B=35.

(1)若b=4，求sin A的值;

(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值.

解　(1)∵cos B=35>0，且0

∴sin B=1-cos2B=45.

由正弦定理得asin A=bsin B，

sin A=asin Bb=2×454=25.

(2)∵S△ABC=12acsin B=4，∴12×2×c×45=4，

∴c=5.

由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=22+52-2×2×5×35=17，∴b=17.

21.(12分)(2010•辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.

(1)求A的大小;

(2)若sin B+sin C=1，试判断△ABC的形状.

解　(1)由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，

即a2=b2+c2+bc.

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，

故cos A=-12，A=120°.

(2)方法一　由(1)得sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C，

又A=120°，∴sin2B+sin2C+sin Bsin C=34，

∵sin B+sin C=1，∴sin C=1-sin B.

∴sin2B+(1-sin B)2+sin B(1-sin B)=34，

即sin2B-sin B+14=0.

解得sin B=12.故sin C=12.

∴B=C=30°.

所以，△ABC是等腰的钝角三角形.

方法二　由(1)A=120°，∴B+C=60°，

则C=60°-B，

∴sin B+sin C=sin B+sin(60°-B)

=sin B+32cos B-12sin B

=12sin B+32cos B

=sin(B+60°)

=1，

∴B=30°，C=30°.

∴△ABC是等腰的钝角三角形.

22.(14分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a，b)，

n=(sin B，sin A)，p=(b-2，a-2).

(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形;

(2)若m⊥p，边长c=2，角C=π3，求△ABC的面积.

(1)证明　∵m∥n，∴asin A=bsin B，

即a•a2R=b•b2R，

其中R是△ABC外接圆半径，∴a=b.

∴△ABC为等腰三角形.

(2)解　由题意知m•p=0，

即a(b-2)+b(a-2)=0.

∴a+b=ab.

由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，

即(ab)2-3ab-4=0.

∴ab=4(舍去ab=-1)，

∴S△ABC=12absin C=12×4×sinπ3=3.

最后，希望本站小编整理的高三数学必修5第一章解三角形章末测试卷对您有所帮助，祝同学们学习进步。