高三数学复习教案：高考数学数列复习教案

欢迎来到常梦网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高三数学复习教案：高考数学数列复习教案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高三数学复习教案：高考数学数列复习教案

【知识图解】

【方法点拨】

1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.

2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.

3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.

4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.

5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.

第1课　数列的概念

【考点导读】

1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;

2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;

3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前 项和的问题。

【基础练习】

1.已知数列 满足 ，则 = 。

分析:由a1=0, 得 由此可知: 数列 是周期变化的,且三个一循环,所以可得:

2.在数列 中，若 ， ，则该数列的通项 2n-1 。

3.设数列 的前n项和为 ， ，且 ，则 ____2__.

4.已知数列 的前 项和 ，则其通项 .

【范例导析】

例1.设数列 的通项公式是 ，则

(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?

(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;

(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项?

分析：70是否是数列的项，只要通过解方程 就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

解：(1)由 得： 或

所以70是这个数列中的项，是第13项。

(2)这个数列的前5项是 ;(图象略)

(3)由函数 的单调性： 是减区间， 是增区间，

所以当 时， 最小，即 最小。

点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。

例2.设数列 的前n项和为 ，点 均在函数y=3x-2的图像上,求数列 的通项公式。

分析：根据题目的条件利用 与 的关系： ，(要特别注意讨论n=1的情况)求出数列 的通项。

解：依题意得， 即 。

当n≥2时， ;

当n=1时， 所以 。

例3.已知数列{a ｝满足 ,

(Ⅰ)求数列 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 满足 ,证明： 是等差数列;

分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。

解：(I)

是以 为首项，2为公比的等比数列。

即

(II)

①

②;

②-①，得 即 ③

∴ 　④

③-④，得　 即　 是等差数列。

点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

【反馈演练】

1.若数列 前8项的值各异，且 对任意n∈N*都成立，则下列数列中可取遍 前8项值的数列为 (2) 。

(1) (2) (3) (4)

2.设Sn是数列 的前n项和，且Sn=n2，则 是 等差数列，但不是等比数列 。

3.设f(n)= (n∈N)，那么f(n+1)-f(n)等于 。

4.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足Sn= (21n-n2-5)(n=1，2，……，12).按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。

5.在数列 中， 则 505 。

6.数列 中，已知 ，

(1)写出 ， ， ; (2) 是否是数列中的项?若是，是第几项?

解：(1)∵ ，∴ ，

， ;

(2)令 ，解方程得 ，

∵ ，∴ ， 即 为该数列的第15项。

第2课　等差、等比数列

【考点导读】

1. 掌握等差、等比数列的通项公式、前 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题;

2. 理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系;

3. 注意函数与方程思想方法的运用。

【基础练习】

1.在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，首项a1= -2 ，公差d= 3 。

2.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是 ，第2项是 8 。

3.设 是公差为正数的等差数列，若 ， ，则 。

4.公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 3 。

【范例导析】

例1.(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有

13 项。

(2)设数列{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。

解：(1)答案：13

法1：设这个数列有n项

∵ ∴

∴n=13

法2：设这个数列有n项

∵

∴ ∴

又 ∴n=13

(2)答案：2 因为前三项和为12，∴a1+a2+a3=12，∴a2= =4

又a1•a2•a3=48， ∵a2=4，∴a1•a3=12，a1+a3=8，

把a1，a3作为方程的两根且a1

∴x2-8x+12=0，x1=6，x2=2，∴a1=2，a3=6，∴选B.

点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。

例2.(1)已知数列 为等差数列，且

(Ⅰ)求数列 的通项公式;(Ⅱ)证明

分析：(1)借助 通过等差数列的定义求出数列 的公差，再求出数列 的通项公式，(2)求和还是要先求出数列 的通项公式，再利用通项公式进行求和。

解：(1)设等差数列 的公差为d，

由 即d=1。

欢迎来到常梦网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高三数学复习教案：高考数学直线的方程复习教案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高三数学复习教案：高考数学直线的方程复习教案

【考点及要求】：

1.掌握直线方程的各种形式，并会灵活的应用于求直线的方程.

2.理解直线的平行关系与垂直关系, 理解两点间的距离和点到直线的距离.

【基础知识】：

1.直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 不含直线x=x1

斜截式 不含垂直于x=轴的直线

两点式 不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)

截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 平面直角坐标系内的直线都适用

2.两条直线平行与垂直的判定

3.点A 、B 间的距离： = .

4.点P 到直线 ：Ax+Bx+C=0的距离：d= .

【基本训练】：

1.过点 且斜率为2的直线方程为 , 过点 且斜率为2的直线方程

为 , 过点 和 的直线方程为 , 过点 和

的直线方程为 .

2.过点 且与直线 平行的直线方程为 .

3.点 和 的距离为 .

4.若原点到直线 的距离为 ,则 .

【典型例题讲练】

例1.一条直线经过点 ,且在两坐标轴上的截距和是6,求该直线的方程.

练习.直线 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,求 的取值范围.

例2.已知直线 与 互相垂直,垂足为 ,求

的值.

练习.求过点 且与原点距离最大的直线方程.

【课堂小结】

【课堂检测】

1.直线 过定点 .

2.过点 ,且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 .

3.点 到直线 的距离不大于3,则 的取值范围为 .

4.直线 , ,若 ,则 .

【课后作业】

【总结】2013年常梦网为小编在此为您收集了此文章“高三数学复习教案：高考数学直线的方程复习教案”，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在常梦网学习愉快!

所以 即

(II)证明：因为 ，

所以

点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。

例3.已知数列 的首项 ( 是常数，且 )， ( )，数列 的首项 ， ( )。

(1)证明： 从第2项起是以2为公比的等比数列;

(2)设 为数列 的前n项和，且 是等比数列，求实数 的值。

分析：第(1)问用定义证明，进一步第(2)问也可以求出。

解：(1)∵ ∴

(n≥2)

由 得 ， ，∵ ，∴ ，

即 从第2项起是以2为公比的等比数列。

(2)

当n≥2时，

∵ 是等比数列, ∴ (n≥2)是常数， ∴3a+4=0，即 。

点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。

【反馈演练】

1.已知等差数列 中， ，则前10项的和 = 210 。

2.在等差数列 中，已知 则 = 42 。

3.已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。

4.如果 成等比数列，则 3 ， -9 。

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S1、S2、…、S12中哪一个值最大，并说明理由.

解：(1)依题意有：

解之得公差d的取值范围为-

(2)解法一：由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk为最大值的条件为：ak≥0且ak+1<0,即

∵a3=12, ∴ ， ∵d<0, ∴2-

∵-

因为k是正整数，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.

解法二：由d<0得a1>a2>…>a12>a13，

因此若在1≤k≤12中有自然数k,使得ak≥0,且ak+1<0,则Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13= S13<0, ∴a7<0, a7+a6=a1+a12= S12>0, ∴a6≥-a7>0

故在S1，S2，…，S12中S6最大.

解法三：依题意得：

最小时，Sn最大;

∵-

从而，在正整数中，当n=6时，[n- (5- )]2最小，所以S6最大.

点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.

第(2)问难度较高，为求{Sn}中的最大值Sk(1≤k≤12)：思路之一是知道Sk为最大值的充要条件是ak≥0且ak+1<0;而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解;思路之三是可视Sn为n的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.

第3课　数列的求和

【考点导读】

对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有：

(1)公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式

(2)分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和(如：通项中含 因式，周期数列等等)

(3)倒序相加法：如果一个数列{a ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2

(4)错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

(5)裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之和变成首尾若干少数项之和。

【基础练习】

1.已知公差不为0的正项等差数列{an｝中,Sn为前n项之和,lga1、lga2、lga4成等差数列，若a5=10,

则S5 = 30 。

2.已知数列{an｝是等差数列,且a2=8,a8=26,从{an｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列{bn｝, 则bn=__3n+1+2___

3.若数列 满足： ，2，3….则 .

【范例导析】

例1.已知等比数列 分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

(Ⅰ)求 ;

(Ⅱ)设 ，求数列

解：(I)依题意

点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。

例2.数列 前 项之和 满足：

(1) 求证：数列 是等比数列 ;

(2) 若数列 的公比为 ,数列 满足： ，求数列 的通项公式;

(3) 定义数列 为 ，，求数列 的前 项之和 。

解：(1)由 得：

两式相减得： 　即 ,

∴数列 是等比数列 。

(2) ，则有 ∴ 。

(3) ，

∴

点评：本题考查了 与 之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。

例3.已知数列 满足 ， .

(Ⅰ)求数列 的通项公式 ; (Ⅱ)设 ，求数列 的前 项和 ;

(Ⅲ)设 ，数列 的前 项和为 .求证：对任意的 ， .

分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。

解：(Ⅰ) ， ，

又 ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.

，　 即 .

(Ⅱ) .

.

(Ⅲ) ， .

当 时，则

.

， 对任意的 ， .

点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列 的通项 ，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。

【反馈演练】

1.已知数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则数列 的前10项的和为 75 。

2.已知数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 377 。

3.已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式为 。

4.已知数列 中， 且有 ，则数列 的通项公式为

，前 项和为 。

5.数列{an}满足a1=2，对于任意的n∈N*都有an>0, 且(n+1)an2+an•an+1-nan+12=0，

又知数列{bn}的通项为bn=2n-1+1.

(1)求数列{an}的通项an及它的前n项和Sn;

(2)求数列{bn}的前n项和Tn;

解：(1)可解得 ，从而an=2n，有Sn=n2+n，

(2)Tn=2n+n-1.

6.数列{an}中，a1=8,a4=2且满足an+2=2an+1-an,(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;

(3)设bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn> 成立?若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.

解：(1)由an+2=2an+1-an an+2-an+1=an+1-an可知{an}成等差数列，

d= =-2,∴an=10-2n.

(2)由an=10-2n≥0可得n≤5，当n≤5时，Sn=-n2+9n，当n>5时，Sn=n2-9n+40，

故Sn=

(3)bn=

;要使Tn> 总成立，需

第4课　数列的应用

【考点导读】

1.能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。

2.注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。

【基础练习】

1.若数列 中， ，且对任意的正整数 、 都有 ，则 .

2.设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，若 成等差数列，则 的值为 。

3.已知等差数列 的公差为2，若 成等比数列，则 。

【范例导析】

例1.已知正数组成的两个数列 ，若 是关于 的方程 的两根

(1)求证： 为等差数列;

(2)已知 分别求数列 的通项公式;

(3)求数 。

(1)证明：由 的两根得：

是等差数列

(2)由(1)知

∴ 　　　又 也符合该式，

(3) ①

②

①—②得

.

点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。

例2.设数列 满足 ，且数列 是等差数列，数列 是等比数列。

(I)求数列 和 的通项公式;

(II)是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，说明理由。

解：由题意得：

= ;

由已知 得公比

(2)

，所以当 时， 是增函数。

又 ， 所以当 时 ，

又 ， 所以不存在 ，使 。

【反馈演练】

1.制造某种产品，计划经过两年要使成本降低 ，则平均每年应降低成本 。

2.等比数列 的前 项和为 ， ，则 54 。

3.设 为等差数列， 为数列 的前 项和，已知 ， 为数列{ ｝的前 项和，则 .

4.已知数列

(1)求数列 的通项公式; (2)求证数列 是等比数列;

(3)求使得 的集合.

解：(1)设数列 ，由题意得：

解得：

(2)由题意知： ，

为首项为2，公比为4的等比数列

(3)由

5.已知数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意 ，满足关系 .

证明： 是等比数列;

证明：∵ ① ∴ ②

②-①，得

∵

故:数列{an}是等比数列

【总结】2013年常梦网为小编在此为您收集了此文章“高三数学复习教案：高考数学数列复习教案”，今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助，祝您在常梦网学习愉快!

欢迎来到常梦网高三数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高三数学复习教案：高考数学函数复习教案”希望能为您的提供到帮助。

本文题目：高三数学复习教案：高考数学函数复习教案

【知识导读】

【方法点拨】

函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解.

1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点.利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等.

2.重视“数形结合思想”渗透.“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题.

3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”.

4.掌握“函数与方程思想”.函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题.

第1课 函数的概念

【考点导读】

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数.

【基础练习】

1.设有函数组：① ， ;② ， ;③ ， ;④ ， ;⑤ ， .其中表示同一个函数的有___②④⑤___.

2.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：

其中能表示为 到 的函数关系的有_____②③____.

3.写出下列函数定义域：

(1) 的定义域为______________; (2) 的定义域为______________;

(3) 的定义域为______________; (4) 的定义域为_________________.

4.已知三个函数:(1) ; (2) ; (3) .写出使各函数式有意义时， ， 的约束条件：

(1)______________________; (2)______________________; (3)______________________________.

5.写出下列函数值域：

(1) ， ;值域是 .

(2) ; 值域是 .

(3) ， . 值域是 .

【范例解析】

例1.设有函数组：① ， ;② ， ;

③ ， ;④ ， .其中表示同一个函数的有③④.

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同.

解：在①中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数;在②中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数;③④是同一函数.

点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可.

例2.求下列函数的定义域：① ; ② ;

解：(1)① 由题意得： 解得 且 或 且 ，

故定义域为 .

② 由题意得： ，解得 ，故定义域为 .

例3.求下列函数的值域：

(1) ， ;

(2) ;

(3) .

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域.

(1) 解： ， ， 函数的值域为 ;

(2) 解法一：由 ， ，则 ， ，故函数值域为 .

解法二：由 ，则 ， ， ， ，故函数值域为 .

(3)解：令 ，则 ， ，

当 时， ，故函数值域为 .

点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围.

【反馈演练】

1.函数f(x)= 的定义域是___________.

2.函数 的定义域为_________________.

3. 函数 的值域为________________.

4. 函数 的值域为_____________.

5.函数 的定义域为_____________________.

6.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为B.

(1) 求A;

(2) 若B A，求实数a的取值范围.

解：(1)由2- ≥0，得 ≥0，x<-1或x≥1， 即A=(-∞，-1)∪[1，+ ∞) .

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0.

∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) .

∵B A， ∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥ 或a≤-2，而a<1，

∴ ≤a<1或a≤-2，故当B A时， 实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1).

第2课 函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法，列表法，解析法)表示函数.

2.求解析式一般有四种情况：(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式;(2)给出函数特征，利用待定系数法求解析式;(3)换元法求解析式;(4)解方程组法求解析式.

【基础练习】

1.设函数 ， ，则 _________; __________.

2.设函数 ， ,则 _____3_______; ; .

3.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __15___.

4.设f(x)= ，则f[f( )]=_____________.

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________.

【范例解析】

例1.已知二次函数 的最小值等于4，且 ，求 的解析式.

分析：给出函数特征，可用待定系数法求解.

解法一：设 ，则 解得

故所求的解析式为 .

解法二： ， 抛物线 有对称轴 .故可设 .

将点 代入解得 .故所求的解析式为 .

解法三：设 ，由 ，知 有两个根0，2，

可设 ， ，

将点 代入解得 .故所求的解析式为 .

点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式.

例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系.试写出 的函数解析式.

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式.

解：当 时，直线方程为 ，当 时，直线方程为 ，

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达.要注意求出解析式后，一定要写出其定义域.

【反馈演练】

1.若 ， ，则 ( D )

A. 　　　　　B. 　　　　C. 　　D.

2.已知 ，且 ，则m等于________.

3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.求函数g(x)的解析式.

解：设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，

则

∵点 在函数 的图象上

第3课 函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大(小)值及其几何意义;

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性.

【基础练习】

1.下列函数中：

① ; ② ; ③ ; ④ .

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___.

2.函数 的递增区间是___ R ___.

3.函数 的递减区间是__________.

4.已知函数 在定义域R上是单调减函数，且 ，则实数a的取值范围__________.

5.已知下列命题：

①定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的增函数;

②定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是减函数;

③定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数;

④定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数.

其中正确命题的序号有_____②______.

【范例解析】

例 . 求证：(1)函数 在区间 上是单调递增函数;

(2)函数 在区间 和 上都是单调递增函数.

分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定.

证明：(1)对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

因为

，

又 ，则 ， ，得 ，

故 ，即 ，即 .

所以，函数 在区间 上是单调增函数.

(2)对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

因为 ，

又 ，则 ， ， 得，

故 ，即 ，即 .

所以，函数 在区间 上是单调增函数.

同理，对于区间 ，函数 是单调增函数;

所以，函数 在区间 和 上都是单调增函数.

点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：(1)在给定区间内任意取两值 ， ;(2)作差 ，化成因式的乘积并判断符号;(3)给出结论.

例2.确定函数 的单调性.

分析：作差后，符号的确定是关键.

解：由 ，得定义域为 .对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

则

又 ， ，

，即 .

所以， 在区间 上是增函数.

点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.

【反馈演练】

1.已知函数 ，则该函数在 上单调递__减__，(填“增”“减”)值域为_________.

2.已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，则 __25___.

3. 函数 的单调递增区间为 .

4. 函数 的单调递减区间为 .

5. 已知函数 在区间 上是增函数，求实数a的取值范围.

解：设对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

则 ，

， ， 得， ， ，即 .

第4课 函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件;不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数.

【基础练习】

1.给出4个函数：① ;② ;③ ;④ .

其中奇函数的有___①④___;偶函数的有____②____;既不是奇函数也不是偶函数的有____③____.

2. 设函数 为奇函数，则实数 -1 .

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )

A. B. C. D.

【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6)

分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断.

解：(1)定义域为 ，关于原点对称; ,

所以 为偶函数.

(2)定义域为 ，关于原点对称; ，

，故 为奇函数.

(3)定义域为 ，关于原点对称; ， 且 ，

所以 既为奇函数又为偶函数.

(4)定义域为 ，不关于原点对称;故 既不是奇函数也不是偶函数.

(5)定义域为 ，关于原点对称; ， ，则 且 ，故 既不是奇函数也不是偶函数.

(6)定义域为 ，关于原点对称;

， 又 ，

，故 为奇函数.

点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次，利用定义即 或 判断，注意定义的等价形式 或 .

例2. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ，求函数 的解析式，并指出它的单调区间.

分析：奇函数若在原点有定义，则 .

解：设 ，则 ， .

又 是奇函数， ， .

当 时， .

综上， 的解析式为 .

作出 的图像，可得增区间为 ， ，减区间为 ， .

点评：(1)求解析式时 的情况不能漏;(2)两个单调区间之间一般不用“ ”连接;(3)利用奇偶性求解析式一般是通过“ ”实现转化;(4)根据图像写单调区间.

【反馈演练】

1.已知定义域为R的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数，则( D )

A. B. C. D.

2. 在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 是减函数，则函数 ( B )

A.在区间 上是增函数，区间 上是增函数

B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数

C.在区间 上是减函数，区间 上是增函数

D.在区间 上是减函数，区间 上是减函数

3. 设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为____1，3 ___.

4.设函数 为奇函数， 则 ________.

5.若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得 的x的取

值范围是(-2，2).

6. 已知函数 是奇函数.又 ， ,求a，b，c的值;

解：由 ，得 ，得 .又 ，得 ，

而 ，得 ，解得 .又 ， 或1.

若 ，则 ，应舍去;若 ，则 .

所以， .

综上，可知 的值域为 .

第5 课 函数的图像

【考点导读】

1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质;

2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法.

【基础练习】

1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：

(1) ;

(2) .

2.作出下列各个函数图像的示意图：

(1) ; (2) ; (3) .

解：(1)将 的图像向下平移1个单位，可得 的图像.图略;

(2)将 的图像向右平移2个单位，可得 的图像.图略;

(3)由 ，将 的图像先向右平移1个单位，得 的图像，再向下平移1个单位，可得 的图像.如下图所示：

3.作出下列各个函数图像的示意图：

(1) ; (2) ; (3) ; (4) .

解：(1)作 的图像关于y轴的对称图像，如图1所示;

(2)作 的图像关于x轴的对称图像，如图2所示;

(3)作 的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示;

(4)作 的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示.

4. 函数 的图象是 ( B )

【范例解析】

例1.作出函数 及 ， ， ， ， 的图像.

分析：根据图像变换得到相应函数的图像.

解： 与 的图像关于y轴对称;

与 的图像关于x轴对称;

将 的图像向左平移2个单位得到 的图像;

保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分;

将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分.图略.

点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种.平移变换：左“+”右“-”，上“+”下“-”;对称变换： 与 的图像关于y轴对称;

与 的图像关于x轴对称; 与 的图像关于原点对称;

保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分;

将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分.

例2.设函数 .

(1)在区间 上画出函数 的图像;

(2)设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明.

分析：根据图像变换得到 的图像，第(3)问实质是恒成立问题.

解：(1)

(2)方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此 .

由于 .

【反馈演练】

1.函数 的图象是( B )

2. 为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象向右平移1个单位长度得到.

3.已知函数 的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 = .

4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线 对称，则

f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ .

5. 作出下列函数的简图：

(1) ; (2) ; (3) .

第6课 二次函数

【考点导读】

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质;

2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.

【基础练习】

1. 已知二次函数 ,则其图像的开口向__上__;对称轴方程为 ;顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，最小值为 .

2. 二次函数 的图像的对称轴为 ,则 __-2___，顶点坐标为 ，递增区间为 ，递减区间为 .

3. 函数 的零点为 .

4. 实系数方程 两实根异号的充要条件为 ;有两正根的充要条件为 ;有两负根的充要条件为 .

5. 已知函数 在区间 上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________.

【范例解析】

例1.设 为实数，函数 ， .

(1)讨论 的奇偶性;

(2)若 时，求 的最小值.

分析：去绝对值.

解：(1)当 时，函数

此时， 为偶函数.

当 时， ， ，

， .

此时 既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)

由于 在 上的最小值为 ，在 内的最小值为 .

故函数 在 内的最小值为 .

点评：注意分类讨论;分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值.

例2.函数 在区间 的最大值记为 ，求 的表达式.

分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况.

解：∵直线 是抛物线 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当 时，函数 ， 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由 知 在 上单调递增，故 ;

(2)当 时， ， ，有 =2;

(3)当 时，，函数 ， 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若 即 时， ，

若 即 时， ，

若 即 时， .

综上所述，有 = .

点评：解答本题应注意两点：一是对 时不能遗漏;二是对 时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及 在区间 上的单调性.

【反馈演练】

1.函数 是单调函数的充要条件是 .

2.已知二次函数的图像顶点为 ，且图像在 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 .

3. 设 ，二次函数 的图象为下列四图之一：

则a的值为 ( B )

A.1 B.-1 C. D.

4.若不等式 对于一切 成立，则a的取值范围是 .

5.若关于x的方程 在 有解，则实数m的取值范围是 .

6.已知函数 在 有最小值，记作 .

(1)求 的表达式;

(2)求 的最大值.

解：(1)由 知对称轴方程为 ，

当 时，即 时， ;

当 ，即 时， ;

当 ，即 时， ;

综上， .

(2)当 时， ;当 时， ;当 时， .故当 时， 的最大值为3.

7. 分别根据下列条件,求实数a的值：

(1)函数 在在 上有最大值2;

(2)函数 在在 上有最大值4.

解：(1)当 时， ，令 ，则 ;

当 时， ，令 ， (舍);

当 时， ，即 .

综上，可得 或 .

(2)当 时， ，即 ，则 ;

当 时， ，即 ，则 .

综上， 或 .

8. 已知函数 .

(1)对任意 ，比较 与 的大小;

(2)若 时，有 ，求实数a的取值范围.

解：(1)对任意 ， ，

故 .

(2)又 ，得 ，即 ，