2015年陕西赛区高中数学联赛预赛试题（有答案）

为了方便同学们复习，提高同学们的复习效率，对这一年的学习有一个更好的巩固，本文整理了高中数学联赛预赛试题，具体内容请看下文。

第一试

填空题:(每小题8分，共80分)要求直接将答案填在题中的横线上.

1. 已知集合 ,若非空集合 满足： 中各元素都加4后构成 的一个子集， 中个元素都减去4后也构成 的一个子集，则            .

答案:

2. 已知两条直线 ， ，设函数 的图像与 、 分别交于点A、B，函数 的图像与 、 分别交于点C、D，则直线AB与CD的交点坐标是

答案:

3. 对于正整数 ,若 、 ,当 最小时，我们称 为 的“最佳分解”，并规定 .例如，12的分解有12 1，6 2，4 3，其中4 3为12的“最佳分解”，则 .关于 ，有以下四个判断：

①       ② ;     ③ ;    ④ .

其中，所有正确判断的序号是             .

答案:②、④

4. 已知 为等腰直角三角形， ，且 ， ，若

，则 的面积等于          .

答案:1

5. 在正四面体ABCD中，AO 平面BCD，垂足为O.设M是线段AO上一点，且满足 ，则          .

答案:1

6. 如图1，Rt 的三个顶点都在给定的抛物线 上，且斜边AB//x轴，则斜边上的高           .

答案:

7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖)，且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列，相应获得的奖金是以700元为首项、以 为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是           元.

答案:500

8. 设 、 是两个不同的质数，则 被 除的余数是         .

答案:1

9. 定义在R上的函数 满足： ，且对于任意的 ，都有 .则不等式 的解集为            .

答案:

10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽，在500m处栽一根，然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根，要完成运载20根电线杆的任务，并返回材料工地，则运输车总的行程最小为

m.

答案:14000

第二试

一、(本题满分20分)

在 中，已知 ，且 .

(1) 求角A的大小和 边的长;

(2) 若点P在 内运动(含边界)，且点P到三边距离之和为d,设点P到边BC、CA的距离分别为 ，试用 表示d,并求d的取值范围.

答案：

二、(本题满分20分)

在平面直角坐标系中，以点  为圆心的圆经过坐标原点 ，且分别与 轴、 轴交于点 (不同于原点 ).

(1) 求证： 的面积 为定值;

(2) 设直线 与圆 相交于不同的两点 ，且 ，求圆 的标准方程.

答案：

三、(本题满分20分)

如图2，锐角 内接于圆 ，过圆心 且垂直于半径 的直线分别交边 于点 设圆 在 两点处的切线相交于点 .

求证：直线 平分线段  .

证明：如图4，过点 作 的平行线，分别交 延长线于点 ，则

因为 是 的外心，所以

所以

又 为圆 的切线，所以 .

所以 ，于是 .

同理

又 ，所以 ，即 平分线段 .

因为 ，故直线 平分线段 .

四、(本题满分30分)

已知数列 满足： ，   .

(1) 求数列 的通项公式;

(2) 若数列 满足： ，且对任意正整数 ,

不等式 恒成立，求整数m的最大值.

若存在 ，则由 知， .依次类推， ，这与 矛盾.故

于是，由 ，得

，即 .

所以 是首项为3、公比为3的等比数列.

所以 ，即

由(1)得 .从而 .

于是，不等式 等价于

令 则

所以 单调递增.

所以 .

于是， ，即 .

故整数 的最大值为13.

五、(本题满分30分)

对于任意的正整数n,证明：

.

证明：记 ， .

先证明：对任意 ，有 .

事实上，

因为 单调递增，所以 .

故

再证明：对任意 ，有 .

当 时， ，不等式成立.

当 时，

(1) 若 为奇数，令 ，则

(2) 若 为偶数，令 ，则

.

综上所述，对任意 ，都有 .

上述提供的高中数学联赛预赛试题希望能够符合大家的实际需要!

高一数学上册期末试卷2015