高一数学教案：点到直线的距离公式教案

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本文题目：高一数学教案：点到直线的距离公式教案

一、三维目标：

1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式;

2、能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离

3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

二、教学重点：点到直线的距离公式

教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.

三、教学方法：学导式

教具：多媒体、实物投影仪

四、教学过程

(一)、情境设置，导入新课

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线 的距离。

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?

两条直线方程如下：

(二)、研探新课

1.点到直线距离公式：

点 到直线 的距离为：

(1)提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为 ，直线=0或B=0时，以上公式 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线 的距离呢?

学生可自由讨论。

(2)数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线 的距离d是点P到直线 的垂线段的长.

这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

设点P到直线 的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥ 可

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本文题目：高一数学教案：两条直线的平行与垂直教案

一、教学目标

(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力.

(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.

二、重难点

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用.

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题.

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.

三、教学方法：启发、引导、讨论.

四、 教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)

∴tgα1=tgα2.即　 k1=k2.

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2.

由于0°≤α1<180°，　 0°≤α<180°，∴α1=α2.又∵两条直线不重合，∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形.如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行.

设α2<α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2.

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°.

知，直线PQ的斜率为 (A≠0)，根据点斜式写出直

线PQ的方程，并由 与PQ的方程求出点Q的坐标;

由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线

的距离为d

此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

方案二：设A≠0，B≠0，这时 与 轴、 轴都相交，过点P作 轴的平行线，交 于点 ;作 轴的平行线，交 于点 ，

由 得 .

所以，|PR|=| |= ，|PS|=| |=

|RS|= ×| |由三角形面积公式可知： •|RS|=|PR|•|PS|，所以 。可证明，当A=0时仍适用

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力。意志品质等方面得到了提高。

2、例题应用，解决问题。

例1 求点P=(-1，2)到直线 3x=2的距离。

解：d=

例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则S =

，AB边上的高h就是点C到AB的距离。

AB边所在直线方程为 ，即x+y-4=0。点C到X+Y-4=0的距离为h

h= ，因此，S =

通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

3、同步练习：114页第1，2题。

(三)、拓展延伸，评价反思

1、应用推导两平行线间的距离公式

已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ，

： ，则 与 的距离为

证明：设 是直线 上任一点，则点P0到直线 的距离为 又

即 ，∴d=

例3 求两平行线 ： ， ： 的距离.

解法一：在直线 上取一点P(4，0)，因为 ∥ ，所以点P到 的距离等于 与 的距离.于是

解法二： ∥ 又 .

由两平行线间的距离公式得

(四)、课堂练习

已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点(2，3)，求该直线方程。

(五)、小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

(六)、课后作业：1、求点P(2，-1)到直线2 +3 -3=0的距离.

2、已知点A( ，6)到直线3 -4 =2的距离d=4，求 的值：

3、已知两条平行线直线 和 的一般式方程为 ： ， ： ，则 与 的距离为

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本文题目：高一数学教案：不等关系教案

目标展示：1.感受现实世界和日常生活中存在的不等关系,会用不等式表示现实生活中的不等 关系

2.了解不等式的基本性质,并能用实数基本关系理论来比较(或证明)两个代数式的 大小关系

重点难点:不等式常见基本性质及应用;永不等式(组)表示不等关系

知识铺垫：不等式的概念和一些基本性质

1. 在数量上刻画实现世界中不等关系的数学模型为不等式

2. 熟悉的一元一次不等式(组)的解集求法回顾： 如何求解

3. 实数基本理论及比较大小的依据

① ____________ ② ____________

② ____________

4. 不等式的一些简单基本性质

(1) ____________(传递性)

(2) ____________ ; ____________(同向不等式可加)

(3) ____________ ; ____________

特别地 ___________ ; ， ______

(4) ___________

注：性质利用时，关键要注意成立的条件.如 且 等

5. 实数比较大小的方法:

基本方法是作差法：作差→变形→判断符号→结论(有时可以作商比较)变形时常考虑配方、因式分解、有理化等方法.

一、 情境和问题(用不等式(组)表示不等关系

(1) 沪宁高速公路全程限速 ;

(2) 某钢铁厂把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产要求，600mm的钢管数量不能超过500mm钢管的3倍

(3) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠，那么不足20人时，应该选择怎样的购票方案?

(4) 某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册，经过调查，若价格每提高0.2 元,则发行量就减少5000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元,每本杂志的价格应定在怎样的范围内?

二、合作研究

用不等式(组)表示不关系是，可选取适当的符号表示变量如时间(t),距离(d)等，还应准确运用不等符号，如超过(>),小于 ，不小于 ，不大于 等.同时还要标明变量的单位和变化范围.如个数 ,月份 等.

试用不等式(组)刻画(1)(2)中的不等关系为:

(1)_____________ (2)__________________

(3)(4)中的问题又如何考虑列式，你能求解吗?

课堂练习 ：(课本 练习1，2，3)

三、例题讲解：

例1、试比较下列两式的大小

(1) 和 (2) 与 (其中 )

(3) 与 (其中 ) (4) 与

例2、判断下列各命题是否成立,并简述理由：

(1)若 ，则 (2)若 ，则

(3)若 则 (4)若 则

例3、设 求：(1) 的取值范围;(2) 的取值范围

例4、若二次函数 图像关于 轴对称，且 ，求 的范围.

四、课后反馈

1. 某高速公路对行驶的各种车辆的速度 的最大限速为 ,行使过程中,同一车道上的车间距 不得小于10m，用不等式(组)表示为__________________

2. 已知 克糖水中有 克糖，若再添加 克糖，则糖水变甜了，根据这个事实， 满足的不等关系是__________________

3. 若 ，则 与 的大小关系为_______________

4. 已知 则 与 的大小关系为_______________

5. 给出三个不等式：(1) ;(2) (3) .其中对一切 都成立的不等式有_______________

6. 已知 , 则 的范围为_____________, 的范围为________________

7. 已知三个不等式:(1) (2) (3) 以其中两个作为条件,余下的一个作结论,则可组成_______________个正确命题

8. 咖啡馆配置两种饮料.每杯甲种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为9 ，4 ，3 ，每杯乙种饮料用奶粉、咖啡、糖分别为4 ，5 ，5 .已知每天用原料为奶粉3600 ，咖啡2000 ，糖3000 ,写出满足上述所有不等关系的不等式.

9. (08广州高考)用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板,随着铁钉的深入,铁钉受到的阻力越来越大,使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的 .已知一个铁钉受击3次后全部进入木板,且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 ,请从这个例子中提炼出一个不等式.

10. 制定投资计划时不仅要考虑到可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,请用不等式(组)把此实例中的不等量关系表示出来.

11. 设 ,比较 与 的大小

12. 当 时.比较 与 的大小

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