高一数学教案：两条直线的平行与垂直教案

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本文题目：高一数学教案：两条直线的平行与垂直教案

一、教学目标

(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力.

(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.

二、重难点

重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用.

难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题.

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题.

三、教学方法：启发、引导、讨论.

四、 教学过程

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.

(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直

设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?

首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)

∴tgα1=tgα2.即　 k1=k2.

反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2.

由于0°≤α1<180°，　 0°≤α<180°，∴α1=α2.又∵两条直线不重合，∴L1∥L2.

结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.

下面我们研究两条直线垂直的情形.如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行.

设α2<α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方;乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2.

因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°.

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本文题目：高一数学教案：直线的两点式方程教案

一、教学目标

1、知识与技能：(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围;(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。

2、过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。

3、情态与价值观：(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化;(2)培养学生用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

1、 重点：直线方程两点式。2、难点：两点式推导过程的理解。

三、教学方法：启发、引导、讨论.

四、教学过程

问 题 设计意图 师生活动

1、利用点斜式解答如下问题：

(1)已知直线 经过两点 ,求直线 的方程.

(2)已知两点 其中 ，求通过这两点的直线方程。 遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的。 教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件?能不能把问题转化为已经解决的问题呢?在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：

(1)

(2)

教师指出：当 时，方程可以写成

由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式(two-point form).

2、若点 中有 ，或 ，此时这两点的直线方程是什么? 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式。 教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当 时，直线与 轴垂直，所以直线方程为： ;当 时，直线与 轴垂直，直线方程为： 。

问 题 设计意图 师生活动

3、例3 教学

已知直线 与 轴的交点为A ，与 轴的交点为B ，其中 ，求直线 的方程。

使学生学会用两点式求直线方程;理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形。 教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点?可以用多少方法来求直线 的方程?那种方法更为简捷?然后由求出直线方程：

教师指出： 的几何意义和截距式方程的概念。

4、例4教学

已知三角形的三个顶点A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。 让学生学会根据题目中所给的条件，选择恰当的直线方程解决问题。 教师给出中点坐标公式，学生根据自己的理解，选择恰当方法求出边BC所在的直线方程和该边上中线所在直线方程。在此基础上，学生交流各自的作法，并进行比较。

5、课堂练习

第102页第1、2、3题。 学生独立完成，教师检查、反馈。

6、小结 增强学生对直线方种四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)互相之间的联系的理解。 教师提出：(1)到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种?它们之间有什么关系?

(2)要求一条直线的方程，必须知道多少个条件?

7、布置作业 巩固深化，培养学生的独立解决问题的能力。 学生课后完成

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，

可以推出　: α1=90°+α2. L1⊥L2.

结论: 两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即

注意: 结论成立的条件. 即如果k1•k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.

(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).

(三)、例题：例1　 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)

解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,

因为 k1=k2=0.5, 所以 直线BA∥PQ.

例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.

例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.

解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1•k2 = -1 所以 AB⊥PQ.

例4　已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)

(四)、课堂练习：P94 练习 1. 2.

(五)、课后小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.

(六)、布置作业：P94 习题3.1 5. 8.

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本文题目：高一数学教案：点到直线的距离公式教案

一、三维目标：

1、知识与技能：理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式;

2、能力和方法： 会用点到直线距离公式求解两平行线距离

3、情感和价值：认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题

二、教学重点：点到直线的距离公式

教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.

三、教学方法：学导式

教具：多媒体、实物投影仪

四、教学过程

(一)、情境设置，导入新课

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线 的距离。

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?

两条直线方程如下：

(二)、研探新课

1.点到直线距离公式：

点 到直线 的距离为：

(1)提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为 ，直线=0或B=0时，以上公式 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线 的距离呢?

学生可自由讨论。

(2)数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线 的距离d是点P到直线 的垂线段的长.

这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

设点P到直线 的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥ 可